Cálculo Exemplos

$3 \ln (\frac{1}{x})$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \ln (\frac{1}{x})$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{x}$ .

$3 (1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 4.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$3 x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$3 x (- x^{- 2})$

Etapa 6

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 x \cdot x^{- 2}$

Etapa 7

Multiplique $x$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.1

Mova $x^{- 2}$ .

$- 3 (x^{- 2} x)$

Etapa 7.2

Multiplique $x^{- 2}$ por $x$ .

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Etapa 7.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 3 (x^{- 2} x^{1})$

Etapa 7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 3 x^{- 2 + 1}$

Etapa 7.3

Some $- 2$ e $1$ .

$- 3 x^{- 1}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x}$

Etapa 8.2

Combine os termos.

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Etapa 8.2.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 3}{x}$

Etapa 8.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{x}$