Cálculo Exemplos

$\frac{x}{1 + x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + x$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(1 + x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 2.2

Multiplique $1 + x$ por $1$ .

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1 + x - x (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1 + x - x \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 2.7

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 + x - x}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 2.7.2

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{1 + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 2.7.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.7.3.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 2.7.3.2

Reordene os termos.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$