Cálculo Exemplos

$x^{\frac{2}{x}}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 1.1

Reescreva $x^{\frac{2}{x}}$ como $e^{\ln (x^{\frac{2}{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{2}{x}})}]$

Etapa 1.2

Expanda $\ln (x^{\frac{2}{x}})$ movendo $\frac{2}{x}$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{2}{x} \ln (x)}]$

Etapa 2

Combine $\frac{2}{x}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{2 \ln (x)}{x}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{2 \ln (x)}{x}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{2 \ln (x)}{x}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 \ln (x)}{x}]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{2 \ln (x)}{x}]$

Etapa 4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 \ln (x)}{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}])$

Etapa 5

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Etapa 6

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 7.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Etapa 7.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Etapa 7.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}})$

Etapa 7.4

Combine frações.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}})$

Etapa 7.4.2

Combine $2$ e $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Etapa 7.4.3

Combine $e^{\frac{2 \ln (x)}{x}}$ e $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (1 - \ln (x)))}{x^{2}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \cdot 1 + 2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \cdot 1) + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Simplifique $2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} (2 \cdot 1) + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Etapa 8.3.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \cdot 2 + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Etapa 8.3.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}$ .

$\frac{2 \cdot e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Etapa 8.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} + 2 \cdot - 1 e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 8.3.1.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - 2 e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 8.3.1.6

Simplifique $2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - 2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 8.3.1.7

Multiplique $- 2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x)$ .

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Etapa 8.3.1.7.1

Reordene $\ln (x)$ e $- 2$ .

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - 2 \cdot \ln (x) e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 8.3.1.7.2

Simplifique $- 2 \cdot \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - \ln (x^{2}) e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 8.3.2

Reordene os fatores em $2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - \ln (x^{2}) e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}$ .

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 8.4

Reordene os termos.

$\frac{- e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x^{2}) + 2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}}{x^{2}}$