Cálculo Exemplos

$\sqrt{4 \sin (x) + 2}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 \sin (x) + 2}$ como ${(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 \sin (x) + 2$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 \sin (x) + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 \sin (x) + 2$ .

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Etapa 7

Diferencie.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Etapa 7.2

Combine frações.

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Etapa 7.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(4 \sin (x) + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 \sin (x) + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Etapa 7.2.2

Mova ${(4 \sin (x) + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Etapa 7.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 \sin (x) + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 7.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \sin (x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 8

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 9.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cos (x) + 0)$

Etapa 9.2

Simplifique os termos.

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Etapa 9.2.1

Some $4 \cos (x)$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cos (x))$

Etapa 9.2.2

Combine $4$ e $\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cos (x)$

Etapa 9.2.3

Combine $\frac{4}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{4 \cos (x)}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2.4

Fatore $2$ de $4 \cos (x)$ .

$\frac{2 (2 \cos (x))}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.1

Fatore $2$ de $2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 \cos (x))}{2 ({(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 \cos (x))}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \cos (x)}{{(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11

Reordene os termos.

$\frac{2 \cos (x)}{{(2 + 4 \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$