Cálculo Exemplos

$\sqrt{x \ln (x^{4})}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x \ln (x^{4})}$ como ${(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x \ln (x^{4})$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x \ln (x^{4})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x \ln (x^{4})$ .

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x \ln (x^{4}))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x \ln (x^{4}))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Etapa 7.3

Mova ${(x \ln (x^{4}))}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x^{4})$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Etapa 9.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{4}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{4}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 10.1

Combine $\frac{1}{x^{4}}$ e $x$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{4}$ .

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Etapa 10.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{1}}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10.2.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.2.3.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{x^{3}} (4 x^{3}) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10.4

Simplifique os termos.

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Etapa 10.4.1

Combine $4$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{4}{x^{3}} x^{3} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10.4.2

Combine $\frac{4}{x^{3}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10.4.3

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 10.4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10.4.3.2

Divida $4$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (4 + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (4 + \ln (x^{4}) \cdot 1)$

Etapa 10.6

Multiplique $\ln (x^{4})$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (4 + \ln (x^{4}))$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Aplique a regra do produto a $x \ln (x^{4})$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} (4 + \ln (x^{4}))$

Etapa 11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \cdot 4 + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

Etapa 11.3

Combine os termos.

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Etapa 11.3.1

Combine $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ e $4$ .

$\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

Etapa 11.3.2

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

Etapa 11.3.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.3.3.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

Etapa 11.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

Etapa 11.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

Etapa 11.3.4

Combine $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ e $\ln (x^{4})$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x^{4})}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.5

Mova ${\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x^{4}) {\ln (x^{4})}^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.6

Multiplique $\ln (x^{4})$ por ${\ln (x^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.3.6.1

Multiplique $\ln (x^{4})$ por ${\ln (x^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 11.3.6.1.1

Eleve $\ln (x^{4})$ à potência de $1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln^{1} (x^{4}) {\ln (x^{4})}^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{\ln (x^{4})}^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.6.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{\ln (x^{4})}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.6.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{\ln (x^{4})}^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.6.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$