Cálculo Exemplos

$\log (x^{3} + 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = x^{3} + 1$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 1.2

A derivada de $\log (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} + 1$ .

$\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)} (3 x^{2} + 0)$

Etapa 2.4

Combine frações.

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Etapa 2.4.1

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)} (3 x^{2})$

Etapa 2.4.2

Combine $3$ e $\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)}$ .

$\frac{3}{(x^{3} + 1) \ln (10)} x^{2}$

Etapa 2.4.3

Combine $\frac{3}{(x^{3} + 1) \ln (10)}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{(x^{3} + 1) \ln (10)}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2}}{x^{3} \ln (10) + 1 \ln (10)}$

Etapa 3.2

Multiplique $\ln (10)$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{3} \ln (10) + \ln (10)}$