Cálculo Exemplos

$\sin^{2} (π x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (π x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (π x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (π x)$ .

$2 \sin (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $π x$ .

$2 \sin (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x])$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (π x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $π x$ .

$2 \sin (π x) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (π x) \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \sin (π x) \cos (π x) (π \cdot 1)$

Etapa 3.3

Multiplique $π$ por $1$ .

$2 \sin (π x) \cos (π x) π$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os fatores de $2 \sin (π x) \cos (π x) π$ .

$2 π \cos (π x) \sin (π x)$

Etapa 4.2

Adicione parênteses.

$2 π (\cos (π x) \sin (π x))$

Etapa 4.3

Reordene $2 π$ e $\cos (π x) \sin (π x)$ .

$\cos (π x) \sin (π x) (2 π)$

Etapa 4.4

Adicione parênteses.

$\cos (π x) (\sin (π x) \cdot 2) π$

Etapa 4.5

Reordene $\cos (π x)$ e $\sin (π x) \cdot 2$ .

$\sin (π x) \cdot 2 \cos (π x) π$

Etapa 4.6

Reordene $\sin (π x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (π x) \cos (π x) π$

Etapa 4.7

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\sin (2 (π x)) π$

Etapa 4.8

Reordene os fatores em $\sin (2 π x) π$ .

$π \sin (2 π x)$