Cálculo Exemplos

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Etapa 2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin^{2} (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (x)$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - (2 \sin (x) \cos (x))$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$

Etapa 4

Combine os termos.

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Etapa 4.1

Reordene os fatores de $- 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 4.2

Subtraia $2 \cos (x) \sin (x)$ de $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x)$