Cálculo Exemplos

$e^{\frac{2}{x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{2}{x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{2}{x}$ .

$e^{\frac{2}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{\frac{2}{x}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{\frac{2}{x}} (2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$e^{\frac{2}{x}} (2 (- x^{- 2}))$

Etapa 2.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e^{\frac{2}{x}} (- 2 x^{- 2})$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{\frac{2}{x}} (- 2 \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.2

Combine os termos.

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Etapa 3.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{\frac{2}{x}} \frac{- 2}{x^{2}}$

Etapa 3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{\frac{2}{x}} (- \frac{2}{x^{2}})$

Etapa 3.2.3

Combine $e^{\frac{2}{x}}$ e $\frac{2}{x^{2}}$ .

$- \frac{e^{\frac{2}{x}} \cdot 2}{x^{2}}$

Etapa 3.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $e^{\frac{2}{x}}$ .

$- \frac{2 e^{\frac{2}{x}}}{x^{2}}$