Cálculo Exemplos

$e^{2 x} \sin (x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{2 x}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{2 x} \cdot 2)$

Etapa 4.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (2 \cdot e^{2 x})$

Etapa 4.3.3

Reordene os termos.

$e^{2 x} \cos (x) + 2 e^{2 x} \sin (x)$