Cálculo Exemplos

$\frac{54 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1

Como $54$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{54 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$ em relação a $x$ é $54 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(25 - x^{2})}^{2}}]$ .

$54 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(25 - x^{2})}^{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(25 - x^{2})}^{2}$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{({(25 - x^{2})}^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.1

Multiplique os expoentes em ${({(25 - x^{2})}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Etapa 3.3

Multiplique ${(25 - x^{2})}^{2}$ por $1$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 25 - x^{2}$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $25 - x^{2}$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $25 - x^{2}$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x (2 (25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Etapa 5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Etapa 5.2

Fatore $25 - x^{2}$ de ${(25 - x^{2})}^{2} - 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $25 - x^{2}$ de ${(25 - x^{2})}^{2}$ .

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2}) - 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Etapa 5.2.2

Fatore $25 - x^{2}$ de $- 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])$ .

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2}) + (25 - x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Etapa 5.2.3

Fatore $25 - x^{2}$ de $(25 - x^{2}) (25 - x^{2}) + (25 - x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))$ .

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Etapa 6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1

Fatore $25 - x^{2}$ de ${(25 - x^{2})}^{4}$ .

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{(25 - x^{2}) {(25 - x^{2})}^{3}}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum.

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{(25 - x^{2}) {(25 - x^{2})}^{3}}$

Etapa 6.3

Reescreva a expressão.

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Etapa 7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $25 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Etapa 8

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Etapa 9

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Etapa 11

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 2 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Etapa 12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 2 x (2 x)}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Etapa 13

Multiplique $2$ por $2$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 x \cdot x}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Etapa 14

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 (x^{1} x)}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Etapa 15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 (x^{1} x^{1})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Etapa 16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 x^{1 + 1}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Etapa 17

Some $1$ e $1$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Etapa 18

Some $- x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$54 \frac{25 + 3 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Etapa 19

Combine $54$ e $\frac{25 + 3 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$ .

$\frac{54 (25 + 3 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Etapa 20

Simplifique.

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Etapa 20.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{54 \cdot 25 + 54 (3 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Etapa 20.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 20.2.1

Multiplique $54$ por $25$ .

$\frac{1350 + 54 (3 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Etapa 20.2.2

Multiplique $3$ por $54$ .

$\frac{1350 + 162 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Etapa 20.3

Reordene os termos.

$\frac{162 x^{2} + 1350}{{(- x^{2} + 25)}^{3}}$