Cálculo Exemplos

$5^{- \frac{1}{x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 5^{x}$ e $g (x) = - \frac{1}{x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [5^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $5$ .

$5^{u} \ln (5) \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{1}{x}$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.3

Multiplique.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.3.2

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

Etapa 3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + 0)$

Etapa 3.5.2

Some $x^{- 2}$ e $0$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) x^{- 2}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os fatores de $5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) x^{- 2}$ .

$5^{- \frac{1}{x}} x^{- 2} \ln (5)$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \frac{1}{x^{2}} \ln (5)$

Etapa 4.3

Combine $5^{- \frac{1}{x}}$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{5^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} \ln (5)$

Etapa 4.4

Combine $\frac{5^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$ e $\ln (5)$ .

$\frac{5^{- \frac{1}{x}} \ln (5)}{x^{2}}$