Cálculo Exemplos

$\frac{3 x - 7}{2 x + 9}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x - 7$ e $g (x) = 2 x + 9$ .

$\frac{(2 x + 9) \frac{d}{d x} [3 x - 7] - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 9]}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(2 x + 9) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 9]}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 9) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 9]}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 9) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 9]}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{(2 x + 9) (3 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 9]}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(2 x + 9) (3 + 0) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 9]}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $3$ e $0$ .

$\frac{(2 x + 9) \cdot 3 - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 9]}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Mova $3$ para a esquerda de $2 x + 9$ .

$\frac{3 \cdot (2 x + 9) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 9]}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{3 (2 x + 9) - (3 x - 7) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (2 x + 9) - (3 x - 7) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 (2 x + 9) - (3 x - 7) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{3 (2 x + 9) - (3 x - 7) (2 + \frac{d}{d x} [9])}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.11

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{3 (2 x + 9) - (3 x - 7) (2 + 0)}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.12.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{3 (2 x + 9) - (3 x - 7) \cdot 2}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.12.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 (2 x + 9) - 2 (3 x - 7)}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 9 - 2 (3 x - 7)}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 9 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 7}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Combine os termos opostos em $3 (2 x) + 3 \cdot 9 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 7$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $3 (2 x)$ e $- 2 (3 x)$ .

$\frac{2 \cdot 3 x + 3 \cdot 9 - 2 \cdot 3 x - 2 \cdot - 7}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Subtraia $2 \cdot 3 x$ de $2 \cdot 3 x$ .

$\frac{3 \cdot 9 + 0 - 2 \cdot - 7}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Some $3 \cdot 9$ e $0$ .

$\frac{3 \cdot 9 - 2 \cdot - 7}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $3$ por $9$ .

$\frac{27 - 2 \cdot - 7}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 7$ .

$\frac{27 + 14}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Some $27$ e $14$ .

$\frac{41}{{(2 x + 9)}^{2}}$