Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} - 3 x - 4}{x - 2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 3 x - 4$ e $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4] - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.5

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.6

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 3 + 0) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.7

Some $2 x - 3$ e $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.10

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.11.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - 2) (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Expanda $(x - 2) (2 x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2

Subtraia $4 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} + 3 x - - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 6 + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Some $- 7 x$ e $3 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 6 + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Some $6$ e $4$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$