Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} + 3 y^{2}}{e^{x^{2} + y^{2}}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + 3 y^{2}$ e $g (x) = e^{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{{(e^{x^{2} + y^{2}})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{x^{2} + y^{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{(x^{2} + y^{2}) \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{x^{2} \cdot 2 + y^{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 \cdot x^{2} + y^{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.1.4

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 \cdot x^{2} + 2 \cdot y^{2}}}$

Etapa 2.1.5

Multiplique $2$ por $y^{2}$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]) - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]) - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 2.4

Como $3 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x + 0) - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 2.5

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 4.3

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (2 x + 0))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (2 x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - 2 (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) + (- 2 x^{2} - 2 (3 y^{2})) (e^{x^{2} + y^{2}} (x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x + (- 2 x^{2} - 2 (3 y^{2})) (e^{x^{2} + y^{2}} (x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x + (- 2 x^{2} - 6 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 5.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 x^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x) - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 (x \cdot x^{2}) e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 5.2.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 (x^{1} x^{2}) e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 5.2.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 x^{1 + 2} e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 5.2.1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 x^{3} e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 5.2.2

Reordene os fatores em $2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 x^{3} e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)$ .

$\frac{2 x e^{x^{2} + y^{2}} - 2 x^{3} e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} x e^{x^{2} + y^{2}}}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 e^{x^{2} + y^{2}} x^{3} - 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 5.4

Fatore $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ de $2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 e^{x^{2} + y^{2}} x^{3} - 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ de $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ .

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1) - 2 e^{x^{2} + y^{2}} x^{3} - 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 5.4.2

Fatore $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ de $- 2 e^{x^{2} + y^{2}} x^{3}$ .

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- x^{2}) - 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 5.4.3

Fatore $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ de $- 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x$ .

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- x^{2}) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- 3 y^{2})}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 5.4.4

Fatore $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ de $2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- x^{2})$ .

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1 - x^{2}) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- 3 y^{2})}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 5.4.5

Fatore $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ de $2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1 - x^{2}) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- 3 y^{2})$ .

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 5.5

Cancele o fator comum de $e^{x^{2} + y^{2}}$ e $e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}$ de $2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$ .

$\frac{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} (2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2}))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Etapa 5.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.5.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} (2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2}))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} \cdot 1}$

Etapa 5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} (2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2}))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} \cdot 1}$

Etapa 5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})}{1}$

Etapa 5.5.2.4

Divida $2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$ por $1$ .

$2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2}) - (2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

Etapa 5.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 e^{x^{2} + y^{2} - 2 x^{2} - (2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

Etapa 5.6.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 e^{x^{2} + y^{2} - 2 x^{2} - 2 y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

Etapa 5.7

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$2 e^{- x^{2} + y^{2} - 2 y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

Etapa 5.8

Subtraia $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

Etapa 5.9

Aplique a propriedade distributiva.

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x \cdot 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- x^{2}) + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

Etapa 5.10

Simplifique.

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Etapa 5.10.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- x^{2}) + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

Etapa 5.10.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.10.2.1

Mova $x^{2}$ .

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} (x^{2} x) \cdot - 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

Etapa 5.10.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 5.10.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} (x^{2} x^{1}) \cdot - 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

Etapa 5.10.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{2 + 1} \cdot - 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

Etapa 5.10.2.3

Some $2$ e $1$ .

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{3} \cdot - 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

Etapa 5.10.3

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{3} \cdot - 1 - 6 e^{- x^{2} - y^{2}} x y^{2}$

Etapa 5.11

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x - 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2} - y^{2}} x y^{2}$

Etapa 5.12

Reordene os fatores em $2 e^{- x^{2} - y^{2}} x - 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2} - y^{2}} x y^{2}$ .

$2 x e^{- x^{2} - y^{2}} - 2 x^{3} e^{- x^{2} - y^{2}} - 6 x y^{2} e^{- x^{2} - y^{2}}$