Cálculo Exemplos

$\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2}$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2}{\sqrt{x} + 2}]$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2}{x^{\frac{1}{2}} + 2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 2$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2] - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{1}{2}} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 8.3

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 9

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 10

Some $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{1}{2}} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 13

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 14

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 16

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 16.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 17

Combine frações.

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Etapa 17.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 17.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 17.3

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 18

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 19

Some $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 20

Simplifique.

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Etapa 20.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 20.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (- x^{\frac{1}{2}} - - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 20.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 20.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 20.4.1

Combine os termos opostos em $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 20.4.1.1

Subtraia $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 20.4.1.2

Some $2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 20.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 20.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 20.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 20.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 20.4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 20.4.2.2.1

Fatore $2$ de $- - 2$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 20.4.2.2.2

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- - 1) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 20.4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 20.4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 20.4.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 20.4.2.4

Multiplique $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 20.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{1 + 1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 20.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 20.5

Combine os termos.

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Etapa 20.5.1

Reescreva $\frac{\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$ como um produto.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Etapa 20.5.2

Multiplique $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$