Cálculo Exemplos

$\frac{e^{5 x}}{x^{15}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{5 x}$ e $g (x) = x^{15}$ .

$\frac{x^{15} \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{{(x^{15})}^{2}}$

Etapa 2

Multiplique os expoentes em ${(x^{15})}^{2}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{15} \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{15 \cdot 2}}$

Etapa 2.2

Multiplique $15$ por $2$ .

$\frac{x^{15} \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$\frac{x^{15} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{x^{15} (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$\frac{x^{15} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{15} (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{15} (e^{5 x} (5 \cdot 1)) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{x^{15} (e^{5 x} \cdot 5) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Etapa 4.3.2

Mova $5$ para a esquerda de $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{15} (5 \cdot e^{5 x}) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 15$ .

$\frac{x^{15} (5 e^{5 x}) - e^{5 x} (15 x^{14})}{x^{30}}$

Etapa 4.5

Multiplique $15$ por $- 1$ .

$\frac{x^{15} (5 e^{5 x}) - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{5 x^{15} e^{5 x} - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

Etapa 5.1.2

Reordene os fatores em $5 x^{15} e^{5 x} - 15 e^{5 x} x^{14}$ .

$\frac{5 x^{15} e^{5 x} - 15 x^{14} e^{5 x}}{x^{30}}$

Etapa 5.2

Reordene os termos.

$\frac{5 e^{5 x} x^{15} - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

Etapa 5.3

Fatore $5 e^{5 x} x^{14}$ de $5 e^{5 x} x^{15} - 15 e^{5 x} x^{14}$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $5 e^{5 x} x^{14}$ de $5 e^{5 x} x^{15}$ .

$\frac{5 e^{5 x} x^{14} (x) - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

Etapa 5.3.2

Fatore $5 e^{5 x} x^{14}$ de $- 15 e^{5 x} x^{14}$ .

$\frac{5 e^{5 x} x^{14} (x) + 5 e^{5 x} x^{14} (- 3)}{x^{30}}$

Etapa 5.3.3

Fatore $5 e^{5 x} x^{14}$ de $5 e^{5 x} x^{14} (x) + 5 e^{5 x} x^{14} (- 3)$ .

$\frac{5 e^{5 x} x^{14} (x - 3)}{x^{30}}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $x^{14}$ e $x^{30}$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $x^{14}$ de $5 e^{5 x} x^{14} (x - 3)$ .

$\frac{x^{14} (5 e^{5 x} (x - 3))}{x^{30}}$

Etapa 5.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.2.1

Fatore $x^{14}$ de $x^{30}$ .

$\frac{x^{14} (5 e^{5 x} (x - 3))}{x^{14} x^{16}}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{14} (5 e^{5 x} (x - 3))}{x^{14} x^{16}}$

Etapa 5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 e^{5 x} (x - 3)}{x^{16}}$