Cálculo Exemplos

${(6 e^{2 x} - x)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 6 e^{2 x} - x$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $6 e^{2 x} - x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [6 e^{2 x} - x]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [6 e^{2 x} - x]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $6 e^{2 x} - x$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} \frac{d}{d x} [6 e^{2 x} - x]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 e^{2 x} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [6 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 e^{2 x}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (6 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (6 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (6 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (6 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (6 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 4.4

Multiplique $12$ por $1$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 4.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} - \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} - 1 \cdot 1)$

Etapa 4.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} - 1)$