Cálculo Exemplos

$\frac{2 x^{2} + 1}{\tan (x^{3})}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x^{2} + 1$ e $g (x) = \tan (x^{3})$ .

$\frac{\tan (x^{3}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]}{\tan^{2} (x^{3})}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]}{\tan^{2} (x^{3})}$

Etapa 2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]}{\tan^{2} (x^{3})}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]}{\tan^{2} (x^{3})}$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]}{\tan^{2} (x^{3})}$

Etapa 2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]}{\tan^{2} (x^{3})}$

Etapa 2.6

Some $4 x$ e $0$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]}{\tan^{2} (x^{3})}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) - (2 x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\tan^{2} (x^{3})}$

Etapa 3.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) - (2 x^{2} + 1) (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\tan^{2} (x^{3})}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) - (2 x^{2} + 1) (\sec^{2} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\tan^{2} (x^{3})}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) - (2 x^{2} + 1) (\sec^{2} (x^{3}) (3 x^{2}))}{\tan^{2} (x^{3})}$

Etapa 4.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) - 3 (2 x^{2} + 1) (\sec^{2} (x^{3}) (x^{2}))}{\tan^{2} (x^{3})}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) + (- 3 (2 x^{2}) - 3 \cdot 1) (\sec^{2} (x^{3}) (x^{2}))}{\tan^{2} (x^{3})}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) - 3 (2 x^{2}) (\sec^{2} (x^{3}) x^{2}) - 3 \cdot 1 (\sec^{2} (x^{3}) x^{2})}{\tan^{2} (x^{3})}$

Etapa 5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 \tan (x^{3}) x - 3 (2 x^{2}) (\sec^{2} (x^{3}) x^{2}) - 3 \cdot 1 (\sec^{2} (x^{3}) x^{2})}{\tan^{2} (x^{3})}$

Etapa 5.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{4 \tan (x^{3}) x - 3 (2 (x^{2} x^{2})) \sec^{2} (x^{3}) - 3 \cdot 1 (\sec^{2} (x^{3}) x^{2})}{\tan^{2} (x^{3})}$

Etapa 5.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 \tan (x^{3}) x - 3 (2 x^{2 + 2}) \sec^{2} (x^{3}) - 3 \cdot 1 (\sec^{2} (x^{3}) x^{2})}{\tan^{2} (x^{3})}$

Etapa 5.3.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$\frac{4 \tan (x^{3}) x - 3 (2 x^{4}) \sec^{2} (x^{3}) - 3 \cdot 1 (\sec^{2} (x^{3}) x^{2})}{\tan^{2} (x^{3})}$

Etapa 5.3.1.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{4 \tan (x^{3}) x - 6 x^{4} \sec^{2} (x^{3}) - 3 \cdot 1 (\sec^{2} (x^{3}) x^{2})}{\tan^{2} (x^{3})}$

Etapa 5.3.1.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{4 \tan (x^{3}) x - 6 x^{4} \sec^{2} (x^{3}) - 3 \sec^{2} (x^{3}) x^{2}}{\tan^{2} (x^{3})}$

Etapa 5.3.2

Reordene os fatores em $4 \tan (x^{3}) x - 6 x^{4} \sec^{2} (x^{3}) - 3 \sec^{2} (x^{3}) x^{2}$ .

$\frac{4 x \tan (x^{3}) - 6 x^{4} \sec^{2} (x^{3}) - 3 x^{2} \sec^{2} (x^{3})}{\tan^{2} (x^{3})}$