Cálculo Exemplos

$\frac{1}{1 + e^{x}}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{1}{1 + e^{x}}$ como ${(1 + e^{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + e^{x})}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 + e^{x}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + e^{x}$ .

$- {(1 + e^{x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- {(1 + e^{x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {(1 + e^{x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- {(1 + e^{x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- {(1 + e^{x})}^{- 2} e^{x}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(1 + e^{x})}^{2}} e^{x}$

Etapa 5.2

Combine $e^{x}$ e $\frac{1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$