Cálculo Exemplos

$\frac{x^{3} - 6}{x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3} - 6$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 6] - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 6] - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 6] - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.4

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.5

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} \cdot 3 - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2 + 2} \cdot 3 - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3.3

Some $2$ e $2$ .

$\frac{x^{4} \cdot 3 - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4

Mova $3$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$\frac{3 \cdot x^{4} - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{3 x^{4} - (x^{3} - 6) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 6

Simplifique com fatoração.

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Etapa 6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 (x^{3} - 6) x}{x^{4}}$

Etapa 6.2

Fatore $x$ de $3 x^{4} - 2 (x^{3} - 6) x$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $x$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{x (3 x^{3}) - 2 (x^{3} - 6) x}{x^{4}}$

Etapa 6.2.2

Fatore $x$ de $- 2 (x^{3} - 6) x$ .

$\frac{x (3 x^{3}) + x (- 2 (x^{3} - 6))}{x^{4}}$

Etapa 6.2.3

Fatore $x$ de $x (3 x^{3}) + x (- 2 (x^{3} - 6))$ .

$\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 6))}{x^{4}}$

Etapa 7

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 6))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 6))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x^{3} - 2 (x^{3} - 6)}{x^{3}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 6}{x^{3}}$

Etapa 8.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 6$ .

$\frac{3 x^{3} - 2 x^{3} + 12}{x^{3}}$

Etapa 8.2.2

Subtraia $2 x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} + 12}{x^{3}}$