Cálculo Exemplos

$2 {(t^{2} + 11 t)}^{- 7}$

Etapa 1

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 {(t^{2} + 11 t)}^{- 7}$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 11 t)}^{- 7}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 11 t)}^{- 7}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 7}$ e $g (t) = t^{2} + 11 t$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t^{2} + 11 t$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 7}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 7$ .

$2 (- 7 u^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{2} + 11 t$ .

$2 (- 7 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique $- 7$ por $2$ .

$- 14 ({(t^{2} + 11 t)}^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 11 t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [11 t]$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [11 t])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + \frac{d}{d t} [11 t])$

Etapa 3.4

Como $11$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $11 t$ em relação a $t$ é $11 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11 \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11 \cdot 1)$

Etapa 3.6

Multiplique $11$ por $1$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 14 \frac{1}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $- 14$ e $\frac{1}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$ .

$\frac{- 14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

Etapa 4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $- \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$ .

$- (2 t + 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

Etapa 4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$(- (2 t) - 1 \cdot 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

Etapa 4.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(- 2 t - 1 \cdot 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

Etapa 4.6

Multiplique $- 1$ por $11$ .

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

Etapa 4.7

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.7.1

Fatore $t$ de $t^{2} + 11 t$ .

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Etapa 4.7.1.1

Fatore $t$ de $t^{2}$ .

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t \cdot t + 11 t)}^{8}}$

Etapa 4.7.1.2

Fatore $t$ de $11 t$ .

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t \cdot t + t \cdot 11)}^{8}}$

Etapa 4.7.1.3

Fatore $t$ de $t \cdot t + t \cdot 11$ .

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t (t + 11))}^{8}}$

Etapa 4.7.2

Aplique a regra do produto a $t (t + 11)$ .

$(- 2 t - 11) \frac{14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Etapa 4.8

Multiplique $- 2 t - 11$ por $\frac{14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$ .

$\frac{(- 2 t - 11) \cdot 14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Etapa 4.9

Mova $14$ para a esquerda de $- 2 t - 11$ .

$\frac{14 \cdot (- 2 t - 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Etapa 4.10

Fatore $- 1$ de $- 2 t$ .

$\frac{14 (- (2 t) - 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Etapa 4.11

Reescreva $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$\frac{14 (- (2 t) - 1 (11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Etapa 4.12

Fatore $- 1$ de $- (2 t) - 1 (11)$ .

$\frac{14 (- (2 t + 11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Etapa 4.13

Reescreva $- (2 t + 11)$ como $- 1 (2 t + 11)$ .

$\frac{14 (- 1 (2 t + 11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Etapa 4.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{14 (2 t + 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$