Cálculo Exemplos

$2 t^{3} + 6 t - \frac{4}{t^{2}}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t^{3} + 6 t - \frac{4}{t^{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [2 t^{3}]$ .

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t^{3}$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Etapa 2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 t^{2} + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d t} [6 t]$ .

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Etapa 3.1

Como $6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $6 t$ em relação a $t$ é $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 t^{2} + 6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 t^{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Etapa 3.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 t^{2} + 6 + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$ .

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Etapa 4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \frac{4}{t^{2}}$ em relação a $t$ é $- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 4.2

Reescreva $\frac{1}{t^{2}}$ como ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = t^{2}$ .

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Etapa 4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t^{2}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{2}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))$

Etapa 4.5

Multiplique os expoentes em ${(t^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 4.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))$

Etapa 4.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- t^{- 4} (2 t))$

Etapa 4.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{- 4} t)$

Etapa 4.7

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))$

Etapa 4.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{1 - 4})$

Etapa 4.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{- 3})$

Etapa 4.10

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$6 t^{2} + 6 + 8 t^{- 3}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 t^{2} + 6 + 8 \frac{1}{t^{3}}$

Etapa 5.2

Combine $8$ e $\frac{1}{t^{3}}$ .

$6 t^{2} + 6 + \frac{8}{t^{3}}$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$6 t^{2} + \frac{8}{t^{3}} + 6$