Cálculo Exemplos

$f (t) = {(9 t + 2)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{\frac{2}{3}}$ e $g (t) = 9 t + 2$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $9 t + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 t + 2$ .

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Etapa 2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Etapa 3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Etapa 5.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Etapa 6

Combine frações.

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Etapa 6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Etapa 6.2

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(9 t + 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(9 t + 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Etapa 6.3

Mova ${(9 t + 2)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Etapa 7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 t + 2$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [2])$

Etapa 8

Como $9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $9 t$ em relação a $t$ é $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} (9 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2])$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2])$

Etapa 10

Multiplique $9$ por $1$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} (9 + \frac{d}{d t} [2])$

Etapa 11

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} (9 + 0)$

Etapa 12

Simplifique os termos.

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Etapa 12.1

Some $9$ e $0$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 9$

Etapa 12.2

Combine $\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ e $9$ .

$\frac{2 \cdot 9}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 12.3

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{18}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 12.4

Fatore $3$ de $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.1

Fatore $3$ de $3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 ({(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 6}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{{(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$