Cálculo Exemplos

$f (t) = \frac{6}{\sqrt{t^{2} - 9}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t^{2} - 9}$ como ${(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2

Como $6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $t$ é $6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.3.1

Reescreva $\frac{1}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d t} [{({(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Etapa 1.3.2

Multiplique os expoentes em ${({(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Etapa 1.3.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 9)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Etapa 1.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- \frac{1}{2}}$ e $g (t) = t^{2} - 9$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t^{2} - 9$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$6 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{2} - 9$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Etapa 8

Combine ${(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$6 (- \frac{{(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Etapa 9

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1

Mova ${(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 (- \frac{1}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Etapa 9.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- 6 (\frac{1}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Etapa 10

Combine $\frac{1}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ e $- 6$ .

$\frac{- 6}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Etapa 11

Fatore $2$ de $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Etapa 12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.1

Fatore $2$ de $2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 ({(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Etapa 12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Etapa 12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Etapa 13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Etapa 14

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} - 9$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9])$

Etapa 15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 t + \frac{d}{d t} [- 9])$

Etapa 16

Como $- 9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 9$ em relação a $t$ é $0$ .

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 t + 0)$

Etapa 17

Combine frações.

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Etapa 17.1

Some $2 t$ e $0$ .

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 t)$

Etapa 17.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} t$

Etapa 17.3

Combine $- 2$ e $\frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} t$

Etapa 17.4

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} t$

Etapa 17.5

Combine $\frac{- 6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ e $t$ .

$\frac{- 6 t}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 17.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6 t}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$