Cálculo Exemplos

$g (t) = \frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1

Reescreva $\frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{3}}$ como ${({(t^{4} + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d t} [{({(t^{4} + 1)}^{3})}^{- 1}]$

Etapa 1.2

Multiplique os expoentes em ${({(t^{4} + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [{(t^{4} + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Etapa 1.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d t} [{(t^{4} + 1)}^{- 3}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 3}$ e $g (t) = t^{4} + 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t^{4} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [t^{4} + 1]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [t^{4} + 1]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{4} + 1$ .

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d t} [t^{4} + 1]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{4} + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (4 t^{3} + 0)$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.1

Some $4 t^{3}$ e $0$ .

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (4 t^{3})$

Etapa 3.4.2

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$- 12 {(t^{4} + 1)}^{- 4} t^{3}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{4}} t^{3}$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $- 12$ e $\frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 12}{{(t^{4} + 1)}^{4}} t^{3}$

Etapa 4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{12}{{(t^{4} + 1)}^{4}} t^{3}$

Etapa 4.2.3

Combine $t^{3}$ e $\frac{12}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$ .

$- \frac{t^{3} \cdot 12}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 4.2.4

Mova $12$ para a esquerda de $t^{3}$ .

$- \frac{12 t^{3}}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$