Cálculo Exemplos

$\frac{5}{9 w^{4}} + 5 \sqrt[3]{w}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{5}{9 w^{4}} + 5 \sqrt[3]{w}$ com relação a $w$ é $\frac{d}{d w} [\frac{5}{9 w^{4}}] + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$ .

$\frac{d}{d w} [\frac{5}{9 w^{4}}] + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d w} [\frac{5}{9 w^{4}}]$ .

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Etapa 2.1

Como $\frac{5}{9}$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $\frac{5}{9 w^{4}}$ em relação a $w$ é $\frac{5}{9} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{4}}]$ .

$\frac{5}{9} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{4}}] + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{1}{w^{4}}$ como ${(w^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{5}{9} \frac{d}{d w} [{(w^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ é $f' (g (w)) g' (w)$ , em que $f (w) = w^{- 1}$ e $g (w) = w^{4}$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $w^{4}$ .

$\frac{5}{9} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d w} [w^{4}]) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{5}{9} (- u^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{4}]) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $w^{4}$ .

$\frac{5}{9} (- {(w^{4})}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{4}]) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ é $n w^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{5}{9} (- {(w^{4})}^{- 2} (4 w^{3})) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Etapa 2.5

Multiplique os expoentes em ${(w^{4})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{9} (- w^{4 \cdot - 2} (4 w^{3})) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Etapa 2.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{5}{9} (- w^{- 8} (4 w^{3})) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Etapa 2.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{5}{9} (- 4 w^{- 8} w^{3}) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Etapa 2.7

Multiplique $w^{- 8}$ por $w^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.7.1

Mova $w^{3}$ .

$\frac{5}{9} (- 4 (w^{3} w^{- 8})) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Etapa 2.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5}{9} (- 4 w^{3 - 8}) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Etapa 2.7.3

Subtraia $8$ de $3$ .

$\frac{5}{9} (- 4 w^{- 5}) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Etapa 2.8

Combine $- 4$ e $\frac{5}{9}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{9} w^{- 5} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Etapa 2.9

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$\frac{- 20}{9} w^{- 5} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Etapa 2.10

Combine $\frac{- 20}{9}$ e $w^{- 5}$ .

$\frac{- 20 w^{- 5}}{9} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Etapa 2.11

Mova $w^{- 5}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 20}{9 w^{5}} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Etapa 2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{20}{9 w^{5}} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{w}$ como $w^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + \frac{d}{d w} [5 w^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 3.2

Como $5$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $5 w^{\frac{1}{3}}$ em relação a $w$ é $5 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{3}}]$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ é $n w^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 3.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 3.7.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 3.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $w^{- \frac{2}{3}}$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 \frac{w^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 3.10

Combine $5$ e $\frac{w^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + \frac{5 w^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 3.11

Mova $w^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + \frac{5}{3 w^{\frac{2}{3}}}$