Cálculo Exemplos

$y = 4^{\sqrt{t}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [4^{t^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = 4^{t}$ e $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [4^{u}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $4$ .

$4^{u} \ln (4) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 10

Combine $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $4^{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 4^{t^{\frac{1}{2}}}}{2} \ln (4)$

Etapa 11

Combine $\frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 4^{t^{\frac{1}{2}}}}{2}$ e $\ln (4)$ .

$\frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4)}{2}$

Etapa 12

Mova $t^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4)}{2 t^{\frac{1}{2}}}$