Cálculo Exemplos

$y = \frac{t}{{(t - 1)}^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = {(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{({(t - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${({(t - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{4}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{4}}$

Etapa 2.3

Multiplique ${(t - 1)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{4}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t - 1$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t - 1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t (2 u \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t - 1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t (2 (t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Etapa 4

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Etapa 4.2

Fatore $t - 1$ de ${(t - 1)}^{2} - 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $t - 1$ de ${(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{(t - 1) (t - 1) - 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Etapa 4.2.2

Fatore $t - 1$ de $- 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])$ .

$\frac{(t - 1) (t - 1) + (t - 1) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{{(t - 1)}^{4}}$

Etapa 4.2.3

Fatore $t - 1$ de $(t - 1) (t - 1) + (t - 1) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))$ .

$\frac{(t - 1) (t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{{(t - 1)}^{4}}$

Etapa 5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1

Fatore $t - 1$ de ${(t - 1)}^{4}$ .

$\frac{(t - 1) (t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{(t - 1) {(t - 1)}^{3}}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(t - 1) (t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{(t - 1) {(t - 1)}^{3}}$

Etapa 5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{3}}$

Etapa 6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t - 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{3}}$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{t - 1 - 2 t (1 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{3}}$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{t - 1 - 2 t (1 + 0)}{{(t - 1)}^{3}}$

Etapa 9

Simplifique somando os termos.

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Etapa 9.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{t - 1 - 2 t \cdot 1}{{(t - 1)}^{3}}$

Etapa 9.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{t - 1 - 2 t}{{(t - 1)}^{3}}$

Etapa 9.3

Subtraia $2 t$ de $t$ .

$\frac{- t - 1}{{(t - 1)}^{3}}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Fatore $- 1$ de $- t$ .

$\frac{- (t) - 1}{{(t - 1)}^{3}}$

Etapa 10.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (t) - 1 (1)}{{(t - 1)}^{3}}$

Etapa 10.3

Fatore $- 1$ de $- (t) - 1 (1)$ .

$\frac{- (t + 1)}{{(t - 1)}^{3}}$

Etapa 10.4

Reescreva $- (t + 1)$ como $- 1 (t + 1)$ .

$\frac{- 1 (t + 1)}{{(t - 1)}^{3}}$

Etapa 10.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{t + 1}{{(t - 1)}^{3}}$