Cálculo Exemplos

$(x^{3} + 1) (3 x^{2} - 4 x + 2)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3} + 1$ e $g (x) = 3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2] + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 4 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{3} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x^{3} + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$(x^{3} + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 2.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 2.7

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 2.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4 + 0) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 2.9

Some $6 x - 4$ e $0$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.12

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + 0)$

Etapa 2.13

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.13.1

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2})$

Etapa 2.13.2

Mova $3$ para a esquerda de $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + 3 \cdot (3 x^{2} - 4 x + 2) x^{2}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 (3 x^{2}) + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 2) x^{2}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{3} + 1) (6 x) + (x^{3} + 1) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} (6 x) + 1 (6 x) + (x^{3} + 1) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} (6 x) + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 3.6

Combine os termos.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.6.1.1

Mova $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 6 + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 3.6.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 6 + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 3.6.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 3} \cdot 6 + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 3.6.1.3

Some $1$ e $3$ .

$x^{4} \cdot 6 + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 3.6.2

Mova $6$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$6 \cdot x^{4} + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 3.6.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 x^{4} + 6 x + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 3.6.4

Mova $- 4$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 \cdot x^{3} + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 3.6.5

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 3.6.6

Multiplique $3$ por $3$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{2} x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 3.6.7

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.6.7.1

Mova $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 3.6.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{2 + 2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 3.6.7.3

Some $2$ e $2$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 3.6.8

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 3.6.9

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.6.9.1

Mova $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 3.6.9.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.6.9.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 3.6.9.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 x^{2 + 1} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 3.6.9.3

Some $2$ e $1$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 3.6.10

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Etapa 3.6.11

Some $6 x^{4}$ e $9 x^{4}$ .

$15 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Etapa 3.6.12

Subtraia $12 x^{3}$ de $- 4 x^{3}$ .

$15 x^{4} + 6 x - 16 x^{3} - 4 + 6 x^{2}$

Etapa 3.7

Reordene os termos.

$15 x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x - 4$