Cálculo Exemplos

$(x - 1) {(x^{2} + 2)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 1$ e $g (x) = {(x^{2} + 2)}^{3}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{3}] + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 2$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(x - 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 2$ .

$(x - 1) (3 {(x^{2} + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Mova $3$ para a esquerda de $x - 1$ .

$3 \cdot (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} (2 x + 0) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$3 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} (2 x) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} (1 + 0)$

Etapa 3.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.9.1

Some $1$ e $0$ .

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} \cdot 1$

Etapa 3.9.2

Multiplique ${(x^{2} + 2)}^{3}$ por $1$ .

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(6 x + 6 \cdot - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3}$

Etapa 4.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$(6 x - 6) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3}$

Etapa 4.3

Fatore ${(x^{2} + 2)}^{2}$ de $(6 x - 6) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3}$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore ${(x^{2} + 2)}^{2}$ de $(6 x - 6) {(x^{2} + 2)}^{2} x$ .

${(x^{2} + 2)}^{2} ((6 x - 6) x) + {(x^{2} + 2)}^{3}$

Etapa 4.3.2

Fatore ${(x^{2} + 2)}^{2}$ de ${(x^{2} + 2)}^{3}$ .

${(x^{2} + 2)}^{2} ((6 x - 6) x) + {(x^{2} + 2)}^{2} (x^{2} + 2)$

Etapa 4.3.3

Fatore ${(x^{2} + 2)}^{2}$ de ${(x^{2} + 2)}^{2} ((6 x - 6) x) + {(x^{2} + 2)}^{2} (x^{2} + 2)$ .

${(x^{2} + 2)}^{2} ((6 x - 6) x + x^{2} + 2)$