Cálculo Exemplos

$4 \cos^{2} (x) - 9 \cos (x) + 2 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\cos (x)$ .

$4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

Etapa 1.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot 2 = 8$ e cuja soma é $b = - 9$ .

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Etapa 1.2.1.1

Fatore $- 9$ de $- 9 u$ .

$4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva $- 9$ como $- 1$ mais $- 8$

$4 u^{2} + (- 1 - 8) u + 2 = 0$

Etapa 1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 u^{2} - 1 u - 8 u + 2 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(4 u^{2} - 1 u) - 8 u + 2 = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (4 u - 1) - 2 (4 u - 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 2) = 0$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$(4 \cos (x) - 1) (\cos (x) - 2) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) - 2 = 0$

Etapa 3

Defina $4 \cos (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $4 \cos (x) - 1$ como igual a $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $4 \cos (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4 \cos (x) = 1$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $4 \cos (x) = 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $4 \cos (x) = 1$ por $4$ .

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

Etapa 3.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

Etapa 3.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.4.1

Avalie $\arccos (\frac{1}{4})$ .

$x = 1.31811607$

Etapa 3.2.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Etapa 3.2.6

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.6.1

Remova os parênteses.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Etapa 3.2.6.2

Simplifique $2 (3.14159265) - 1.31811607$ .

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Etapa 3.2.6.2.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

Etapa 3.2.6.2.2

Subtraia $1.31811607$ de $6.2831853$ .

$x = 4.96506923$

Etapa 3.2.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.2.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $\cos (x) - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\cos (x) - 2$ como igual a $0$ .

$\cos (x) - 2 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\cos (x) - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$\cos (x) = 2$

Etapa 4.2.2

O intervalo do cosseno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $2$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(4 \cos (x) - 1) (\cos (x) - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$