Cálculo Exemplos

${(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}} = 3^{4 x}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo dos dois lados da equação.

$\ln ({(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}}) = \ln (3^{4 x})$

Etapa 2

Expanda $\ln ({(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}})$ movendo $1 - 3 x^{2}$ para fora do logaritmo.

$(1 - 3 x^{2}) \ln (\frac{1}{25}) = \ln (3^{4 x})$

Etapa 3

Reescreva $\ln (\frac{1}{25})$ como $\ln (1) - \ln (25)$ .

$(1 - 3 x^{2}) (\ln (1) - \ln (25)) = \ln (3^{4 x})$

Etapa 4

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$(1 - 3 x^{2}) (0 - \ln (25)) = \ln (3^{4 x})$

Etapa 5

Reescreva $\ln (25)$ como $\ln (5^{2})$ .

$(1 - 3 x^{2}) (0 - \ln (5^{2})) = \ln (3^{4 x})$

Etapa 6

Expanda $\ln (5^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$(1 - 3 x^{2}) (0 - (2 \ln (5))) = \ln (3^{4 x})$

Etapa 7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(1 - 3 x^{2}) (0 - 2 \ln (5)) = \ln (3^{4 x})$

Etapa 8

Subtraia $2 \ln (5)$ de $0$ .

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = \ln (3^{4 x})$

Etapa 9

Expanda $\ln (3^{4 x})$ movendo $4 x$ para fora do logaritmo.

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Etapa 10

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique $(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + (1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Etapa 10.1.2

Simplifique somando os zeros.

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Etapa 10.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (- 2 \ln (5)) - 3 x^{2} (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Etapa 10.1.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.4.1

Multiplique $- 2 \ln (5)$ por $1$ .

$- 2 \ln (5) - 3 x^{2} (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Etapa 10.1.4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 2 \ln (5) - 3 \cdot - 2 x^{2} \ln (5) = 4 x \ln (3)$

Etapa 10.1.4.3

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$- 2 \ln (5) + 6 x^{2} \ln (5) = 4 x \ln (3)$

Etapa 10.2

Subtraia $4 x \ln (3)$ dos dois lados da equação.

$- 2 \ln (5) + 6 x^{2} \ln (5) - 4 x \ln (3) = 0$

Etapa 10.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 10.4

Substitua os valores $a = 6 \ln (5)$ , $b = - 4 \ln (3)$ e $c = - 2 \ln (5)$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot (6 \ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))}}{2 (6 \ln (5))}$

Etapa 10.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1.1

Adicione parênteses.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot (6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Etapa 10.5.1.2

Deixe $u = 6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1.2.1

Aplique a regra do produto a $- 4 \ln (3)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} \ln^{2} (3) - 4 \cdot u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Etapa 10.5.1.2.2

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{16 \ln^{2} (3) - 4 u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Etapa 10.5.1.3

Fatore $4$ de $16 \ln^{2} (3) - 4 u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1.3.1

Fatore $4$ de $16 \ln^{2} (3)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3)) - 4 u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Etapa 10.5.1.3.2

Fatore $4$ de $- 4 u$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3)) + 4 (- u)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Etapa 10.5.1.3.3

Fatore $4$ de $4 (4 \ln^{2} (3)) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - u)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Etapa 10.5.1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Etapa 10.5.1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1.5.1

Multiplique $\ln (5)$ por $\ln (5)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1.5.1.1

Mova $\ln (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln (5) \ln (5) \cdot - 2)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Etapa 10.5.1.5.1.2

Multiplique $\ln (5)$ por $\ln (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln^{2} (5) \cdot - 2)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Etapa 10.5.1.5.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $\ln^{2} (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (- 2 \cdot \ln^{2} (5))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Etapa 10.5.1.5.3

Multiplique $- 2$ por $6$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (- 12 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Etapa 10.5.1.5.4

Multiplique $- 12$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Etapa 10.5.1.6

Fatore $4$ de $4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1.6.1

Fatore $4$ de $4 \ln^{2} (3)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Etapa 10.5.1.6.2

Fatore $4$ de $12 \ln^{2} (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 4 (3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Etapa 10.5.1.6.3

Fatore $4$ de $4 \ln^{2} (3) + 4 (3 \ln^{2} (5))$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 \cdot (4 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Etapa 10.5.1.7

Multiplique $4$ por $4$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{16 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Etapa 10.5.1.8

Reescreva $16 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))$ como ${(2^{2})}^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1.8.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Etapa 10.5.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Etapa 10.5.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 2^{2} \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Etapa 10.5.1.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Etapa 10.5.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{12 \ln (5)}$

Etapa 10.5.3

Simplifique $\frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{12 \ln (5)}$ .

$x = \frac{\ln (3) \pm \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

Etapa 10.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{\ln (3) + \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}, \frac{\ln (3) - \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{\ln (3) + \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}, \frac{\ln (3) - \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

Forma decimal:

$x = 0.84810424 \dots, - 0.39303344 \dots$