Cálculo Exemplos

$4^{x} - 14 \cdot 2^{x} = - 49$

Etapa 1

Some $49$ aos dois lados da equação.

$4^{x} - 14 \cdot 2^{x} + 49 = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Reescreva $4^{x}$ como ${(2^{2})}^{x}$ .

${(2^{2})}^{x} - 14 \cdot 2^{x} + 49 = 0$

Etapa 2.2

Reescreva ${(2^{2})}^{x}$ como ${(2^{x})}^{2}$ .

${(2^{x})}^{2} - 14 \cdot 2^{x} + 49 = 0$

Etapa 2.3

Deixe $u = 2^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $2^{x}$ .

$u^{2} - 14 u + 49 = 0$

Etapa 2.4

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.4.1

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$u^{2} - 14 u + 7^{2} = 0$

Etapa 2.4.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$14 u = 2 \cdot u \cdot 7$

Etapa 2.4.3

Reescreva o polinômio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 7 + 7^{2} = 0$

Etapa 2.4.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 7$ .

${(u - 7)}^{2} = 0$

Etapa 2.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2^{x}$ .

${(2^{x} - 7)}^{2} = 0$

Etapa 3

Defina $2^{x} - 7$ como igual a $0$ .

$2^{x} - 7 = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Some $7$ aos dois lados da equação.

$2^{x} = 7$

Etapa 4.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{x}) = \ln (7)$

Etapa 4.3

Expanda $\ln (2^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (7)$

Etapa 4.4

Divida cada termo em $x \ln (2) = \ln (7)$ por $\ln (2)$ e simplifique.

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Etapa 4.4.1

Divida cada termo em $x \ln (2) = \ln (7)$ por $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

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Etapa 4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Etapa 4.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Forma decimal:

$x = 2.80735492 \dots$