Cálculo Exemplos

$10^{x + 3} = 5 e^{7 - x}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo dos dois lados da equação.

$\ln (10^{x + 3}) = \ln (5 e^{7 - x})$

Etapa 2

Expanda $\ln (10^{x + 3})$ movendo $x + 3$ para fora do logaritmo.

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5 e^{7 - x})$

Etapa 3

Reescreva $\ln (5 e^{7 - x})$ como $\ln (5) + \ln (e^{7 - x})$ .

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + \ln (e^{7 - x})$

Etapa 4

Expanda $\ln (e^{7 - x})$ movendo $7 - x$ para fora do logaritmo.

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + (7 - x) \ln (e)$

Etapa 5

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + (7 - x) \cdot 1$

Etapa 6

Multiplique $7 - x$ por $1$ .

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + 7 - x$

Etapa 7

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 7.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$(x + 3) \ln (10) - \ln (5) = 7 - x$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \ln (10) + 3 \ln (10) - \ln (5) = 7 - x$

Etapa 7.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.1

Simplifique $x \ln (10) + 3 \ln (10) - \ln (5)$ .

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Etapa 7.3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1.1

Simplifique $3 \ln (10)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$x \ln (10) + \ln (10^{3}) - \ln (5) = 7 - x$

Etapa 7.3.1.1.2

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$x \ln (10) + \ln (1000) - \ln (5) = 7 - x$

Etapa 7.3.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (10) + \ln (\frac{1000}{5}) = 7 - x$

Etapa 7.3.1.3

Divida $1000$ por $5$ .

$x \ln (10) + \ln (200) = 7 - x$

Etapa 7.4

Some $x$ aos dois lados da equação.

$x \ln (10) + \ln (200) + x = 7$

Etapa 7.5

Subtraia $\ln (200)$ dos dois lados da equação.

$x \ln (10) + x = 7 - \ln (200)$

Etapa 7.6

Fatore $x$ de $x \ln (10) + x$ .

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Etapa 7.6.1

Fatore $x$ de $x \ln (10)$ .

$x (\ln (10)) + x = 7 - \ln (200)$

Etapa 7.6.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x (\ln (10)) + x = 7 - \ln (200)$

Etapa 7.6.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x (\ln (10)) + x \cdot 1 = 7 - \ln (200)$

Etapa 7.6.4

Fatore $x$ de $x (\ln (10)) + x \cdot 1$ .

$x (\ln (10) + 1) = 7 - \ln (200)$

Etapa 7.7

Divida cada termo em $x (\ln (10) + 1) = 7 - \ln (200)$ por $\ln (10) + 1$ e simplifique.

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Etapa 7.7.1

Divida cada termo em $x (\ln (10) + 1) = 7 - \ln (200)$ por $\ln (10) + 1$ .

$\frac{x (\ln (10) + 1)}{\ln (10) + 1} = \frac{7}{\ln (10) + 1} + \frac{- \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Etapa 7.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.7.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (10) + 1$ .

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Etapa 7.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (\ln (10) + 1)}{\ln (10) + 1} = \frac{7}{\ln (10) + 1} + \frac{- \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Etapa 7.7.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{\ln (10) + 1} + \frac{- \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Etapa 7.7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.7.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = \frac{7}{\ln (10) + 1} - \frac{\ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Etapa 7.7.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{7 - \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{7 - \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Forma decimal:

$x = 0.51525777 \dots$