Cálculo Exemplos

$x^{2} + y^{2} = 4$ , $(0, 2)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = 2$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Etapa 1.2.3

Reordene os termos.

$2 y y' + 2 x$

Etapa 1.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y y' + 2 x = 0$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$2 y y' = - 2 x$

Etapa 1.5.2

Divida cada termo em $2 y y' = - 2 x$ por $2 y$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Divida cada termo em $2 y y' = - 2 x$ por $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 1.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 1.5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 1.5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 1.5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 1.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

Etapa 1.5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Etapa 1.5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

Etapa 1.5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- x}{y}$

Etapa 1.5.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x}{y}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 0$ e $y = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$- \frac{0}{y}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $2$ na expressão.

$- \frac{0}{2}$

Etapa 1.7.3

Divida $0$ por $2$ .

$- 0$

Etapa 1.7.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a inclinação $0$ e um ponto determinado $(0, 2)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 0 \cdot (x - (0))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 2 = 0 \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique $0 \cdot (x + 0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Some $x$ e $0$ .

$y - 2 = 0 \cdot x$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $0$ por $x$ .

$y - 2 = 0$

Etapa 2.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = 2$

Etapa 3