Cálculo Exemplos

$x = 0$ , $x = 3$ , $y = 2 e^{3 x}$ , $y = e^{3 x} + e^{6}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$2 e^{3 x} = e^{3 x} + e^{6}$

Etapa 1.2

Resolva $2 e^{3 x} = e^{3 x} + e^{6}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva $e^{3 x}$ como exponenciação.

$2 e^{3 x} = {(e^{x})}^{3} + e^{6} = e^{3 x} + e^{6}$

Etapa 1.2.2

Substitua $u$ por $e^{x}$ .

$2 e^{3 x} = u^{3} + e^{6} = e^{3 x} + e^{6}$

Etapa 1.2.3

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Subtraia $e^{3 x}$ dos dois lados da equação.

$2 e^{3 x} - e^{3 x} = e^{6}$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $e^{3 x}$ de $2 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} = e^{6}$

Etapa 1.2.4

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$3 x = 6$

Etapa 1.2.5

Divida cada termo em $3 x = 6$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Divida cada termo em $3 x = 6$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{6}{3}$

Etapa 1.2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{6}{3}$

Etapa 1.2.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{6}{3}$

Etapa 1.2.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1

Divida $6$ por $3$ .

$x = 2$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $2$ por $x$ .

$y = e^{3 (2)} + e^{6}$

Etapa 1.3.2

Simplifique $e^{3 (2)} + e^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$y = e^{6} + e^{6}$

Etapa 1.3.2.2

Some $e^{6}$ e $e^{6}$ .

$y = 2 e^{6}$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(2, 2 e^{6})$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{2} e^{3 x} + e^{6} d x - \int_{0}^{2} 2 e^{3 x} d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{2} e^{3 x} + e^{6} - (2 e^{3 x}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{2} e^{3 x} + e^{6} - 2 e^{3 x} d x$

Etapa 3.3

Subtraia $2 e^{3 x}$ de $e^{3 x}$ .

$\int_{0}^{2} e^{6} - e^{3 x} d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{2} e^{6} d x + \int_{0}^{2} - e^{3 x} d x$

Etapa 3.5

Aplique a regra da constante.

$e^{6} x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - e^{3 x} d x$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{6} x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} e^{3 x} d x$

Etapa 3.7

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 3.7.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 3.7.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 3.7.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Etapa 3.7.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 3.7.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

Etapa 3.7.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$u_{upper} = 6$

Etapa 3.7.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

Etapa 3.7.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$e^{6} x]_{0}^{2} - \int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 3.8

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{6} x]_{0}^{2} - \int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u$

Etapa 3.9

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$e^{6} x]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u)$

Etapa 3.10

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{6} x]_{0}^{2} - \frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6}$

Etapa 3.11

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Avalie $e^{6} x$ em $2$ e em $0$ .

$(e^{6} \cdot 2) - e^{6} \cdot 0 - \frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6}$

Etapa 3.11.2

Avalie $e^{u}$ em $6$ e em $0$ .

$(e^{6} \cdot 2) - e^{6} \cdot 0 - \frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0})$

Etapa 3.11.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $e^{6}$ .

$2 \cdot e^{6} - e^{6} \cdot 0 - \frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0})$

Etapa 3.11.3.2

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$2 e^{6} + 0 e^{6} - \frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0})$

Etapa 3.11.3.3

Multiplique $0$ por $e^{6}$ .

$2 e^{6} + 0 - \frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0})$

Etapa 3.11.3.4

Some $2 e^{6}$ e $0$ .

$2 e^{6} - \frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0})$

Etapa 3.11.3.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$2 e^{6} - \frac{1}{3} (e^{6} - 1 \cdot 1)$

Etapa 3.11.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 e^{6} - \frac{1}{3} (e^{6} - 1)$

Etapa 3.12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 e^{6} - \frac{1}{3} e^{6} - \frac{1}{3} \cdot - 1$

Etapa 3.12.1.2

Combine $e^{6}$ e $\frac{1}{3}$ .

$2 e^{6} - \frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1$

Etapa 3.12.1.3

Multiplique $- \frac{1}{3} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 e^{6} - \frac{e^{6}}{3} + 1 (\frac{1}{3})$

Etapa 3.12.1.3.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$2 e^{6} - \frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3}$

Etapa 3.12.2

Para escrever $2 e^{6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2 e^{6} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3}$

Etapa 3.12.3

Combine $2 e^{6}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{6} \cdot 3}{3} - \frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3}$

Etapa 3.12.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 e^{6} \cdot 3 - e^{6}}{3} + \frac{1}{3}$

Etapa 3.12.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 e^{6} \cdot 3 - e^{6} + 1}{3}$

Etapa 3.12.6

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 e^{6} - e^{6} + 1}{3}$

Etapa 3.12.7

Subtraia $e^{6}$ de $6 e^{6}$ .

$\frac{5 e^{6} + 1}{3}$

Etapa 4

$A r e a = \int_{2}^{3} 2 e^{3 x} d x - \int_{2}^{3} e^{3 x} + e^{6} d x$

Etapa 5

Integre para encontrar a área entre $2$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{2}^{3} 2 e^{3 x} - (e^{3 x} + e^{6}) d x$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{2}^{3} 2 e^{3 x} - e^{3 x} - e^{6} d x$

Etapa 5.3

Subtraia $e^{3 x}$ de $2 e^{3 x}$ .

$\int_{2}^{3} e^{3 x} - e^{6} d x$

Etapa 5.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{2}^{3} e^{3 x} d x + \int_{2}^{3} - e^{6} d x$

Etapa 5.5

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 5.5.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 5.5.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 5.5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 2$

Etapa 5.5.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$u_{lower} = 6$

Etapa 5.5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 3$

Etapa 5.5.5

Multiplique $3$ por $3$ .

$u_{upper} = 9$

Etapa 5.5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 9$

Etapa 5.5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{6}^{9} e^{u} \frac{1}{3} d u + \int_{2}^{3} - e^{6} d x$

Etapa 5.6

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int_{6}^{9} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{2}^{3} - e^{6} d x$

Etapa 5.7

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int_{6}^{9} e^{u} d u + \int_{2}^{3} - e^{6} d x$

Etapa 5.8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} e^{u}]_{6}^{9} + \int_{2}^{3} - e^{6} d x$

Etapa 5.9

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} e^{u}]_{6}^{9} + - e^{6} x]_{2}^{3}$

Etapa 5.10

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.1

Avalie $e^{u}$ em $9$ e em $6$ .

$\frac{1}{3} ((e^{9}) - e^{6}) + - e^{6} x]_{2}^{3}$

Etapa 5.10.2

Avalie $- e^{6} x$ em $3$ e em $2$ .

$\frac{1}{3} ((e^{9}) - e^{6}) + (- e^{6} \cdot 3) + e^{6} \cdot 2$

Etapa 5.10.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.3.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (e^{9} - e^{6}) - 3 e^{6} + e^{6} \cdot 2$

Etapa 5.10.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{6}$ .

$\frac{1}{3} (e^{9} - e^{6}) - 3 e^{6} + 2 \cdot e^{6}$

Etapa 5.10.3.3

Some $- 3 e^{6}$ e $2 e^{6}$ .

$\frac{1}{3} (e^{9} - e^{6}) - e^{6}$

Etapa 5.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} e^{9} + \frac{1}{3} (- e^{6}) - e^{6}$

Etapa 5.11.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{9}$ .

$\frac{e^{9}}{3} + \frac{1}{3} (- e^{6}) - e^{6}$

Etapa 5.11.1.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{6}$ .

$\frac{e^{9}}{3} - \frac{e^{6}}{3} - e^{6}$

Etapa 5.11.2

Para escrever $- e^{6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{9}}{3} - \frac{e^{6}}{3} - e^{6} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 5.11.3

Combine $- e^{6}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{9}}{3} - \frac{e^{6}}{3} + \frac{- e^{6} \cdot 3}{3}$

Etapa 5.11.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{9}}{3} + \frac{- e^{6} - e^{6} \cdot 3}{3}$

Etapa 5.11.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{9} - e^{6} - e^{6} \cdot 3}{3}$

Etapa 5.11.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{e^{9} - e^{6} - 3 e^{6}}{3}$

Etapa 5.11.7

Subtraia $3 e^{6}$ de $- e^{6}$ .

$\frac{e^{9} - 4 e^{6}}{3}$

Etapa 6

Some as áreas $\frac{5 e^{6} + 1}{3} + \frac{e^{9} - 4 e^{6}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 e^{6} + 1 + e^{9} - 4 e^{6}}{3}$

Etapa 6.2

Subtraia $4 e^{6}$ de $5 e^{6}$ .

$\frac{e^{6} + 1 + e^{9}}{3}$

Etapa 7