Cálculo Exemplos

$\ln (3 x^{2} - 2 x + 1)$

Etapa 1

Encontre as assíntotas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Defina o argumento do logaritmo como igual a zero.

$3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.2.2

Substitua os valores $a = 3$ , $b = - 2$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.1.3

Subtraia $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.1.4

Reescreva $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.1.7

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.7.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.4.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.4.1.3

Subtraia $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.4.1.4

Reescreva $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.4.1.7

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.7.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.4.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.4.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Etapa 1.2.4.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Etapa 1.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}$

Etapa 1.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.5.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.5.1.3

Subtraia $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.5.1.4

Reescreva $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.5.1.7

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1.7.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.5.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.5.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.5.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Etapa 1.2.5.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Etapa 1.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Etapa 1.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Etapa 1.3

A assíntota vertical ocorre em $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$ .

Assíntota vertical: $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Etapa 2

Encontre o ponto em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \ln (3 {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1)$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \ln (3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 1)$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (1) = \ln (3 - 2 \cdot 1 + 1)$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f (1) = \ln (3 - 2 + 1)$

Etapa 2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Subtraia $2$ de $3$ .

$f (1) = \ln (1 + 1)$

Etapa 2.2.2.2

Some $1$ e $1$ .

$f (1) = \ln (2)$

Etapa 2.2.3

A resposta final é $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Etapa 2.3

Converta $\ln (2)$ em decimal.

$y = 0.69314718$

Etapa 3

Encontre o ponto em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \ln (3 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 1)$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = \ln (3 \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 1)$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$f (2) = \ln (12 - 2 \cdot 2 + 1)$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f (2) = \ln (12 - 4 + 1)$

Etapa 3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Subtraia $4$ de $12$ .

$f (2) = \ln (8 + 1)$

Etapa 3.2.2.2

Some $8$ e $1$ .

$f (2) = \ln (9)$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $\ln (9)$ .

$\ln (9)$

Etapa 3.3

Converta $\ln (9)$ em decimal.

$y = 2.19722457$

Etapa 4

Encontre o ponto em $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Etapa 4.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (3) = \ln (3^{1 + 2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Etapa 4.2.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f (3) = \ln (3^{3} - 2 \cdot 3 + 1)$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (3) = \ln (27 - 2 \cdot 3 + 1)$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$f (3) = \ln (27 - 6 + 1)$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Subtraia $6$ de $27$ .

$f (3) = \ln (21 + 1)$

Etapa 4.2.2.2

Some $21$ e $1$ .

$f (3) = \ln (22)$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $\ln (22)$ .

$\ln (22)$

Etapa 4.3

Converta $\ln (22)$ em decimal.

$y = 3.09104245$

Etapa 5

A função do logaritmo pode ser representada graficamente usando a assíntota vertical em $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$ e os pontos $(1, 0.69314718), (2, 2.19722457), (3, 3.09104245)$ .

Assíntota vertical: $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.693 \\ 2 & 2.197 \\ 3 & 3.091 \end{array}$

Etapa 6