Cálculo Exemplos

$y = 5 x^{3} - 3 x$ , $(1, 2)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 2$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{3} - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{3}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$15 x^{2} - 3 \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$15 x^{2} - 3$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$15 {(1)}^{2} - 3$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$15 \cdot 1 - 3$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $15$ por $1$ .

$15 - 3$

Etapa 1.5.2

Subtraia $3$ de $15$ .

$12$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $12$ e um ponto determinado $(1, 2)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 12 \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 2 = 12 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $12 \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 2 = 0 + 0 + 12 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 2 = 12 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 2 = 12 x + 12 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$y - 2 = 12 x - 12$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = 12 x - 12 + 2$

Etapa 2.3.2.2

Some $- 12$ e $2$ .

$y = 12 x - 10$

Etapa 3