Cálculo Exemplos

$y = \ln (x^{2} - 8)$ , $(3, 0)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 3$ e $y = 0$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} - 8$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 8$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8])$

Etapa 1.2.3

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8} (2 x + 0)$

Etapa 1.2.4

Combine frações.

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Etapa 1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8} (2 x)$

Etapa 1.2.4.2

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2} - 8}$ .

$\frac{2}{x^{2} - 8} x$

Etapa 1.2.4.3

Combine $\frac{2}{x^{2} - 8}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} - 8}$

Etapa 1.3

Avalie a derivada em $x = 3$ .

$\frac{2 (3)}{{(3)}^{2} - 8}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6}{3^{2} - 8}$

Etapa 1.4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.4.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{6}{9 - 8}$

Etapa 1.4.2.2

Subtraia $8$ de $9$ .

$\frac{6}{1}$

Etapa 1.4.3

Divida $6$ por $1$ .

$6$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $6$ e um ponto determinado $(3, 0)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 6 \cdot (x - (3))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 0 = 6 \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Some $y$ e $0$ .

$y = 6 \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3.2

Simplifique $6 \cdot (x - 3)$ .

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Etapa 2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 6 x + 6 \cdot - 3$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique $6$ por $- 3$ .

$y = 6 x - 18$

Etapa 3