Cálculo Exemplos

$(x^{2} + 4) y = 8$ , $(2, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ((x^{2} + 4) y) = \frac{d}{d x} (8)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} + 4$ e $g (x) = y$ .

$(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 1.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$(x^{2} + 4) y' + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 1.2.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + 0)$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x)$

Etapa 1.2.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$(x^{2} + 4) y' + 2 \cdot y x$

Etapa 1.2.7

Simplifique.

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Etapa 1.2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} y' + 4 y' + 2 y x$

Etapa 1.2.7.2

Reordene os termos.

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y'$

Etapa 1.3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y' = 0$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$x^{2} y' + 4 y' = - 2 x y$

Etapa 1.5.2

Fatore $y'$ de $x^{2} y' + 4 y'$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $y'$ de $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 4 y' = - 2 x y$

Etapa 1.5.2.2

Fatore $y'$ de $4 y'$ .

$y' x^{2} + y' \cdot 4 = - 2 x y$

Etapa 1.5.2.3

Fatore $y'$ de $y' x^{2} + y' \cdot 4$ .

$y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$

Etapa 1.5.3

Divida cada termo em $y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ por $x^{2} + 4$ e simplifique.

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Etapa 1.5.3.1

Divida cada termo em $y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ por $x^{2} + 4$ .

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 4$ .

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Etapa 1.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 2$ e $y = 1$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{y}{{(2)}^{2} + 4}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $1$ na expressão.

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{{(2)}^{2} + 4}$

Etapa 1.7.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4 + 4}$

Etapa 1.7.3.2

Some $4$ e $4$ .

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{8}$

Etapa 1.7.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 1.7.4.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- 4 \cdot \frac{1}{8}$

Etapa 1.7.4.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.7.4.2.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$4 (- 1) \cdot \frac{1}{8}$

Etapa 1.7.4.2.2

Fatore $4$ de $8$ .

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.7.4.2.3

Cancele o fator comum.

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.7.4.2.4

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.7.4.3

Reescreva $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{1}{2}$ e um ponto determinado $(2, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (2))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.5.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1))$

Etapa 2.3.1.5.3

Cancele o fator comum.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.4

Reescreva a expressão.

$y - 1 = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 1$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{x}{2} + 1 + 1$

Etapa 2.3.2.2

Some $1$ e $1$ .

$y = - \frac{x}{2} + 2$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 2$

Etapa 2.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{1}{2} x + 2$

Etapa 3