Cálculo Exemplos

$\tan (x y) = x - 1$ , $(1, 0)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 0$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\tan (x y)) = \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 1.2.1.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$\sec^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 1.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y)$

Etapa 1.2.6

Simplifique.

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Etapa 1.2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec^{2} (x y) (x y') + \sec^{2} (x y) y$

Etapa 1.2.6.2

Reordene os termos.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$

Etapa 1.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.3.4

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) = 1$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.1.1

Reordene os fatores em $x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$ .

$x y' \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) = 1$

Etapa 1.5.2

Subtraia $y \sec^{2} (x y)$ dos dois lados da equação.

$x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$

Etapa 1.5.3

Divida cada termo em $x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ por $x \sec^{2} (x y)$ e simplifique.

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Etapa 1.5.3.1

Divida cada termo em $x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ por $x \sec^{2} (x y)$ .

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $\sec^{2} (x y)$ .

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Etapa 1.5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Etapa 1.5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $\sec^{2} (x y)$ .

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Etapa 1.5.3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Etapa 1.5.3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y}{x}$

Etapa 1.5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 1$ e $y = 0$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$\frac{1}{(1) \sec^{2} ((1) \cdot y)} - \frac{y}{1}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $0$ na expressão.

$\frac{1}{(1) \sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Etapa 1.7.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.3.1

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 1.7.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 \sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Etapa 1.7.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Etapa 1.7.3.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Etapa 1.7.3.3

Reescreva $\frac{1^{2}}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))}$ como ${(\frac{1}{\sec ((1) \cdot (0))})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sec ((1) \cdot (0))})}^{2} - \frac{0}{1}$

Etapa 1.7.3.4

Reescreva $\sec ((1) \cdot (0))$ em termos de senos e cossenos.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos ((1) \cdot (0))}})}^{2} - \frac{0}{1}$

Etapa 1.7.3.5

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos ((1) \cdot (0))}$ .

${(1 \cos ((1) \cdot (0)))}^{2} - \frac{0}{1}$

Etapa 1.7.3.6

Simplifique.

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Etapa 1.7.3.6.1

Multiplique $0$ por $1$ .

${(1 \cos (0))}^{2} - \frac{0}{1}$

Etapa 1.7.3.6.2

Multiplique $\cos (0)$ por $1$ .

$\cos^{2} (0) - \frac{0}{1}$

Etapa 1.7.3.7

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$1^{2} - \frac{0}{1}$

Etapa 1.7.3.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - \frac{0}{1}$

Etapa 1.7.3.9

Divida $0$ por $1$ .

$1 - 0$

Etapa 1.7.3.10

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.7.4

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $1$ e um ponto determinado $(1, 0)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 0 = 1 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Some $y$ e $0$ .

$y = 1 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$y = x - 1$

Etapa 3