Cálculo Exemplos

$y = x^{2}$ , $y = 2 x$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} = 2 x$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} = 2 x$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $x$ de $x^{2} - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 2 x = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $x$ de $- 2 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 2 = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$x (x - 2) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0 + y = 2 x$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = 2 (0)$

Etapa 1.3.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $2$ por $x$ .

$y = 2 (2)$

Etapa 1.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = 4$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(2, 4)$

$(0, 0)$

$(2, 4)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{2} 2 x d x - \int_{0}^{2} x^{2} d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{2} 2 x - (x^{2}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $x^{2}$ .

$\int_{0}^{2} 2 x - x^{2} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - x^{2} d x$

Etapa 3.4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - x^{2} d x$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{2} d x$

Etapa 3.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{2} d x$

Etapa 3.7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} x^{2} d x$

Etapa 3.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2})$

Etapa 3.9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2})$

Etapa 3.9.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $2$ e em $0$ .

$2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2})$

Etapa 3.9.2.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $2$ e em $0$ .

$2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.9.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$2 (2 - \frac{0}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.4

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.4.1

Fatore $2$ de $0$ .

$2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$2 (2 - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.4.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$2 (2 - 0) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 (2 + 0) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.6

Some $2$ e $0$ .

$2 \cdot 2 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.8

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 3.9.2.3.9

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{0}{3})$

Etapa 3.9.2.3.10

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.10.1

Fatore $3$ de $0$ .

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Etapa 3.9.2.3.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.10.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Etapa 3.9.2.3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Etapa 3.9.2.3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{0}{1})$

Etapa 3.9.2.3.10.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$4 - (\frac{8}{3} - 0)$

Etapa 3.9.2.3.11

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$4 - (\frac{8}{3} + 0)$

Etapa 3.9.2.3.12

Some $\frac{8}{3}$ e $0$ .

$4 - \frac{8}{3}$

Etapa 3.9.2.3.13

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Etapa 3.9.2.3.14

Combine $4$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}$

Etapa 3.9.2.3.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 \cdot 3 - 8}{3}$

Etapa 3.9.2.3.16

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.16.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{12 - 8}{3}$

Etapa 3.9.2.3.16.2

Subtraia $8$ de $12$ .

$\frac{4}{3}$

Etapa 4