Cálculo Exemplos

$y = x^{2} + 6 x - 4$ , $y = x + 2$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} + 6 x - 4 = x + 2$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} + 6 x - 4 = x + 2$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 6 x - 4 - x = 2$

Etapa 1.2.1.2

Subtraia $x$ de $6 x$ .

$x^{2} + 5 x - 4 = 2$

Etapa 1.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 5 x - 4 - 2 = 0$

Etapa 1.2.3

Subtraia $2$ de $- 4$ .

$x^{2} + 5 x - 6 = 0$

Etapa 1.2.4

Fatore $x^{2} + 5 x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $5$ .

$- 1, 6 + y = x + 2$

Etapa 1.2.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 1) (x + 6) = 0$

Etapa 1.2.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 6 = 0 + y = x + 2$

Etapa 1.2.6

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.6.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.7

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.7.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 1.2.7.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 1.2.8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 6$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 1$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = (1) + 2$

Etapa 1.3.2

Substitua $1$ por $x$ em $y = (1) + 2$ e resolva $y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 1 + 2$

Etapa 1.3.2.2

Remova os parênteses.

$y = (1) + 2$

Etapa 1.3.2.3

Some $1$ e $2$ .

$y = 3$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 6$ .

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Etapa 1.4.1

Substitua $- 6$ por $x$ .

$y = (- 6) + 2$

Etapa 1.4.2

Substitua $- 6$ por $x$ em $y = (- 6) + 2$ e resolva $y$ .

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Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = - 6 + 2$

Etapa 1.4.2.2

Remova os parênteses.

$y = (- 6) + 2$

Etapa 1.4.2.3

Some $- 6$ e $2$ .

$y = - 4$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(1, 3)$

$(- 6, - 4)$

$(1, 3)$

$(- 6, - 4)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 6}^{1} x + 2 d x - \int_{- 6}^{1} x^{2} + 6 x - 4 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 6$ e $1$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 6}^{1} x + 2 - (x^{2} + 6 x - 4) d x$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 2 - x^{2} - (6 x) - - 4$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$x + 2 - x^{2} - 6 x - - 4$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$x + 2 - x^{2} - 6 x + 4$

$\int_{- 6}^{1} x + 2 - x^{2} - 6 x + 4 d x$

Etapa 3.3

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.3.1

Subtraia $6 x$ de $x$ .

$- 5 x + 2 - x^{2} + 4$

Etapa 3.3.2

Some $2$ e $4$ .

$- 5 x - x^{2} + 6$

$\int_{- 6}^{1} - 5 x - x^{2} + 6 d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 6}^{1} - 5 x d x + \int_{- 6}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

Etapa 3.5

Como $- 5$ é constante com relação a $x$ , mova $- 5$ para fora da integral.

$- 5 \int_{- 6}^{1} x d x + \int_{- 6}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 6}^{1}) + \int_{- 6}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

Etapa 3.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) + \int_{- 6}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

Etapa 3.8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) - \int_{- 6}^{1} x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 6}^{1}) + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

Etapa 3.10

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{1}) + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

Etapa 3.11

Aplique a regra da constante.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{1}) + 6 x]_{- 6}^{1}$

Etapa 3.12

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.12.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $1$ e em $- 6$ .

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 6)}^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{1}) + 6 x]_{- 6}^{1}$

Etapa 3.12.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $1$ e em $- 6$ .

$- 5 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 6)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + 6 x]_{- 6}^{1}$

Etapa 3.12.3

Avalie $6 x$ em $1$ e em $- 6$ .

$- 5 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 6)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4

Simplifique.

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Etapa 3.12.4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 6)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.2

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{36}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.3

Cancele o fator comum de $36$ e $2$ .

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Etapa 3.12.4.3.1

Fatore $2$ de $36$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 18}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.12.4.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 18}{2 (1)}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{18}{1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.3.2.4

Divida $18$ por $1$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 18) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.4

Multiplique $- 1$ por $18$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - 18) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.5

Para escrever $- 18$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - 18 \cdot \frac{2}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.6

Combine $- 18$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 5 (\frac{1}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 5 \frac{1 - 18 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.12.4.8.1

Multiplique $- 18$ por $2$ .

$- 5 \frac{1 - 36}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.8.2

Subtraia $36$ de $1$ .

$- 5 (\frac{- 35}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 5 (- \frac{35}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.10

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$5 (\frac{35}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.11

Combine $5$ e $\frac{35}{2}$ .

$\frac{5 \cdot 35}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.12

Multiplique $5$ por $35$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.13

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.14

Eleve $- 6$ à potência de $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{- 216}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.15

Cancele o fator comum de $- 216$ e $3$ .

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Etapa 3.12.4.15.1

Fatore $3$ de $- 216$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot - 72}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.15.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.12.4.15.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot - 72}{3 (1)}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.15.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot - 72}{3 \cdot 1}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.15.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{- 72}{1}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.15.2.4

Divida $- 72$ por $1$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - - 72) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.16

Multiplique $- 1$ por $- 72$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} + 72) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.17

Para escrever $72$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} + 72 \cdot \frac{3}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.18

Combine $72$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} + \frac{72 \cdot 3}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{175}{2} - \frac{1 + 72 \cdot 3}{3} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.20

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.12.4.20.1

Multiplique $72$ por $3$ .

$\frac{175}{2} - \frac{1 + 216}{3} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.20.2

Some $1$ e $216$ .

$\frac{175}{2} - \frac{217}{3} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.21

Para escrever $\frac{175}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{217}{3} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.22

Para escrever $- \frac{217}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.23

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.23.1

Multiplique $\frac{175}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.23.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.23.3

Multiplique $\frac{217}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217 \cdot 2}{3 \cdot 2} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.23.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.24

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{175 \cdot 3 - 217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.25

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.12.4.25.1

Multiplique $175$ por $3$ .

$\frac{525 - 217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.25.2

Multiplique $- 217$ por $2$ .

$\frac{525 - 434}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.25.3

Subtraia $434$ de $525$ .

$\frac{91}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.26

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{91}{6} + 6 - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.12.4.27

Multiplique $- 6$ por $- 6$ .

$\frac{91}{6} + 6 + 36$

Etapa 3.12.4.28

Some $6$ e $36$ .

$\frac{91}{6} + 42$

Etapa 3.12.4.29

Para escrever $42$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{91}{6} + 42 \cdot \frac{6}{6}$

Etapa 3.12.4.30

Combine $42$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{91}{6} + \frac{42 \cdot 6}{6}$

Etapa 3.12.4.31

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{91 + 42 \cdot 6}{6}$

Etapa 3.12.4.32

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.32.1

Multiplique $42$ por $6$ .

$\frac{91 + 252}{6}$

Etapa 3.12.4.32.2

Some $91$ e $252$ .

$\frac{343}{6}$

Etapa 4