Cálculo Exemplos

$y = \sin (x)$ , $y = \cos (x)$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\sin (x) = \cos (x)$

Etapa 1.2

Resolva $\sin (x) = \cos (x)$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.2

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\tan (x) = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\tan (x) = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\tan (x) = 1$

Etapa 1.2.4

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (1)$

Etapa 1.2.5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.5.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.6

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.7

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 1.2.7.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.7.2

Combine frações.

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Etapa 1.2.7.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.7.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 1.2.7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.7.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 1.2.7.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 1.2.8

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 1.2.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 1.2.8.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 1.2.8.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 1.2.9

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = \frac{π}{4} + π n$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $\frac{π}{4} + π n$ por $x$ .

$y = \cos (\frac{π}{4} + π n)$

Etapa 1.3.2

Remova os parênteses.

$y = \cos (\frac{π}{4} + π n)$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = \frac{5 π}{4} + π n$ .

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Etapa 1.4.1

Substitua $\frac{5 π}{4} + π n$ por $x$ .

$y = \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

Etapa 1.4.2

Remova os parênteses.

$y = \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

Etapa 1.5

Liste todas as soluções.

$y = \cos (\frac{π}{4} + π n), x = \frac{π}{4} + π n$

$y = \cos (\frac{5 π}{4} + π n), x = \frac{5 π}{4} + π n$

$y = \cos (\frac{π}{4} + π n), x = \frac{π}{4} + π n$

$y = \cos (\frac{5 π}{4} + π n), x = \frac{5 π}{4} + π n$

Etapa 2

A área entre as curvas em questão é ilimitada.

Área não limitada

Etapa 3