Cálculo Exemplos

$y = 6 x - x^{2}$ , $y = - 5 x$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$6 x - x^{2} = - 5 x$

Etapa 1.2

Resolva $6 x - x^{2} = - 5 x$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Some $5 x$ aos dois lados da equação.

$6 x - x^{2} + 5 x = 0$

Etapa 1.2.1.2

Some $6 x$ e $5 x$ .

$- x^{2} + 11 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $- x$ de $- x^{2} + 11 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $- x$ de $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 11 x = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $- x$ de $11 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 11 = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $- x$ de $- x (x) - x (- 11)$ .

$- x (x - 11) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 11 = 0 + y = - 5 x$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 11$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 11$ como igual a $0$ .

$x - 11 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $11$ aos dois lados da equação.

$x = 11$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- x (x - 11) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 11$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = - 5 \cdot 0$

Etapa 1.3.2

Substitua $0$ por $x$ em $y = - 5 \cdot 0$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = - 5 \cdot 0$

Etapa 1.3.2.2

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $11$ por $x$ .

$y = - 5 \cdot 11$

Etapa 1.4.2

Substitua $11$ por $x$ em $y = - 5 \cdot 11$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = - 5 \cdot 11$

Etapa 1.4.2.2

Multiplique $- 5$ por $11$ .

$y = - 55$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(11, - 55)$

$(0, 0)$

$(11, - 55)$

Etapa 2

Reordene $6 x$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 6 x$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{11} - x^{2} + 6 x d x - \int_{0}^{11} - 5 x d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $0$ e $11$ .

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Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{11} - x^{2} + 6 x - (- 5 x) d x$

Etapa 4.2

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{11} - x^{2} + 6 x + 5 x d x$

Etapa 4.3

Some $6 x$ e $5 x$ .

$\int_{0}^{11} - x^{2} + 11 x d x$

Etapa 4.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{11} - x^{2} d x + \int_{0}^{11} 11 x d x$

Etapa 4.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{0}^{11} x^{2} d x + \int_{0}^{11} 11 x d x$

Etapa 4.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{11}) + \int_{0}^{11} 11 x d x$

Etapa 4.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{11}) + \int_{0}^{11} 11 x d x$

Etapa 4.8

Como $11$ é constante com relação a $x$ , mova $11$ para fora da integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{11}) + 11 \int_{0}^{11} x d x$

Etapa 4.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{11}) + 11 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{11})$

Etapa 4.10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{11}) + 11 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{11})$

Etapa 4.10.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $11$ e em $0$ .

$- ((\frac{11^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 11 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{11})$

Etapa 4.10.2.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $11$ e em $0$ .

$- (\frac{11^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 11 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.1

Eleve $11$ à potência de $3$ .

$- (\frac{1331}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 11 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- (\frac{1331}{3} - \frac{0}{3}) + 11 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.3

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.3.1

Fatore $3$ de $0$ .

$- (\frac{1331}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 11 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- (\frac{1331}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 11 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{1331}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 11 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\frac{1331}{3} - \frac{0}{1}) + 11 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- (\frac{1331}{3} - 0) + 11 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- (\frac{1331}{3} + 0) + 11 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.5

Some $\frac{1331}{3}$ e $0$ .

$- \frac{1331}{3} + 11 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.6

Eleve $11$ à potência de $2$ .

$- \frac{1331}{3} + 11 (\frac{121}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{1331}{3} + 11 (\frac{121}{2} - \frac{0}{2})$

Etapa 4.10.2.3.8

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.8.1

Fatore $2$ de $0$ .

$- \frac{1331}{3} + 11 (\frac{121}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Etapa 4.10.2.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.8.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{1331}{3} + 11 (\frac{121}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 4.10.2.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1331}{3} + 11 (\frac{121}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 4.10.2.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1331}{3} + 11 (\frac{121}{2} - \frac{0}{1})$

Etapa 4.10.2.3.8.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- \frac{1331}{3} + 11 (\frac{121}{2} - 0)$

Etapa 4.10.2.3.9

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- \frac{1331}{3} + 11 (\frac{121}{2} + 0)$

Etapa 4.10.2.3.10

Some $\frac{121}{2}$ e $0$ .

$- \frac{1331}{3} + 11 (\frac{121}{2})$

Etapa 4.10.2.3.11

Combine $11$ e $\frac{121}{2}$ .

$- \frac{1331}{3} + \frac{11 \cdot 121}{2}$

Etapa 4.10.2.3.12

Multiplique $11$ por $121$ .

$- \frac{1331}{3} + \frac{1331}{2}$

Etapa 4.10.2.3.13

Para escrever $- \frac{1331}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1331}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1331}{2}$

Etapa 4.10.2.3.14

Para escrever $\frac{1331}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1331}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1331}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.10.2.3.15

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.10.2.3.15.1

Multiplique $\frac{1331}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1331 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1331}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.10.2.3.15.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{1331 \cdot 2}{6} + \frac{1331}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.10.2.3.15.3

Multiplique $\frac{1331}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1331 \cdot 2}{6} + \frac{1331 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Etapa 4.10.2.3.15.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{1331 \cdot 2}{6} + \frac{1331 \cdot 3}{6}$

Etapa 4.10.2.3.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1331 \cdot 2 + 1331 \cdot 3}{6}$

Etapa 4.10.2.3.17

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.10.2.3.17.1

Multiplique $- 1331$ por $2$ .

$\frac{- 2662 + 1331 \cdot 3}{6}$

Etapa 4.10.2.3.17.2

Multiplique $1331$ por $3$ .

$\frac{- 2662 + 3993}{6}$

Etapa 4.10.2.3.17.3

Some $- 2662$ e $3993$ .

$\frac{1331}{6}$

Etapa 5