Cálculo Exemplos

$y = 16 - x^{2}$ , $y = 0$ , $x = - 3$ , $x = 2$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$16 - x^{2} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $16 - x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 16$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 16$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 16$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 1.2.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Divida $- 16$ por $- 1$ .

$x^{2} = 16$

Etapa 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Etapa 1.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{16}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Etapa 1.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 4$

Etapa 1.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4$

Etapa 1.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4$

Etapa 1.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4, - 4$

Etapa 1.3

Substitua $4$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(4, 0)$

$(- 4, 0)$

$(4, 0)$

$(- 4, 0)$

Etapa 2

Reordene $16$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 16$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 3}^{2} - x^{2} + 16 d x - \int_{- 3}^{2} 0 d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $- 3$ e $2$ .

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Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} + 16 - (0) d x$

Etapa 4.2

Subtraia $0$ de $- x^{2} + 16$ .

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} + 16 d x$

Etapa 4.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} 16 d x$

Etapa 4.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{- 3}^{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} 16 d x$

Etapa 4.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} 16 d x$

Etapa 4.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} 16 d x$

Etapa 4.7

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) + 16 x]_{- 3}^{2}$

Etapa 4.8

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.8.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $2$ e em $- 3$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 16 x]_{- 3}^{2}$

Etapa 4.8.2

Avalie $16 x$ em $2$ e em $- 3$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

Etapa 4.8.3

Simplifique.

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Etapa 4.8.3.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

Etapa 4.8.3.2

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 27}{3}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

Etapa 4.8.3.3

Cancele o fator comum de $- 27$ e $3$ .

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Etapa 4.8.3.3.1

Fatore $3$ de $- 27$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

Etapa 4.8.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.8.3.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

Etapa 4.8.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

Etapa 4.8.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 9}{1}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

Etapa 4.8.3.3.2.4

Divida $- 9$ por $1$ .

$- (\frac{8}{3} - - 9) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

Etapa 4.8.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$- (\frac{8}{3} + 9) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

Etapa 4.8.3.5

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{8}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

Etapa 4.8.3.6

Combine $9$ e $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

Etapa 4.8.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{8 + 9 \cdot 3}{3} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

Etapa 4.8.3.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.8.3.8.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$- \frac{8 + 27}{3} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

Etapa 4.8.3.8.2

Some $8$ e $27$ .

$- \frac{35}{3} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

Etapa 4.8.3.9

Multiplique $16$ por $2$ .

$- \frac{35}{3} + 32 - 16 \cdot - 3$

Etapa 4.8.3.10

Multiplique $- 16$ por $- 3$ .

$- \frac{35}{3} + 32 + 48$

Etapa 4.8.3.11

Some $32$ e $48$ .

$- \frac{35}{3} + 80$

Etapa 4.8.3.12

Para escrever $80$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35}{3} + 80 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.8.3.13

Combine $80$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{80 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.8.3.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 35 + 80 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.8.3.15

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.8.3.15.1

Multiplique $80$ por $3$ .

$\frac{- 35 + 240}{3}$

Etapa 4.8.3.15.2

Some $- 35$ e $240$ .

$\frac{205}{3}$

Etapa 5