Cálculo Exemplos

$y = 2 x + 15$ , $y = x^{2}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$2 x + 15 = x^{2}$

Etapa 1.2

Resolva $2 x + 15 = x^{2}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x + 15 - x^{2} = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $- 1$ de $2 x + 15 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Reordene a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1.1

Mova $15$ .

$2 x - x^{2} + 15 = 0$

Etapa 1.2.2.1.1.2

Reordene $2 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x + 15 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 15 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $- 1$ de $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 15 = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Reescreva $15$ como $- 1 (- 15)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 15 = 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 15 = 0$

Etapa 1.2.2.1.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 15)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 15$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 15$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 5, 3 + y = x^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 5) (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 5) (x + 3) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0 + y = x^{2}$

Etapa 1.2.4

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 1.2.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 5) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, - 3$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $5$ por $x$ .

$y = {(5)}^{2}$

Etapa 1.3.2

Substitua $5$ por $x$ em $y = {(5)}^{2}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 5^{2}$

Etapa 1.3.2.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$y = 25$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

$y = {(- 3)}^{2}$

Etapa 1.4.2

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$y = 9$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(5, 25)$

$(- 3, 9)$

$(5, 25)$

$(- 3, 9)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 3}^{5} 2 x + 15 d x - \int_{- 3}^{5} x^{2} d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 3$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 3}^{5} 2 x + 15 - (x^{2}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $x^{2}$ .

$\int_{- 3}^{5} 2 x + 15 - x^{2} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 3}^{5} 2 x d x + \int_{- 3}^{5} 15 d x + \int_{- 3}^{5} - x^{2} d x$

Etapa 3.4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{- 3}^{5} x d x + \int_{- 3}^{5} 15 d x + \int_{- 3}^{5} - x^{2} d x$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 15 d x + \int_{- 3}^{5} - x^{2} d x$

Etapa 3.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 15 d x + \int_{- 3}^{5} - x^{2} d x$

Etapa 3.7

Aplique a regra da constante.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 15 x]_{- 3}^{5} + \int_{- 3}^{5} - x^{2} d x$

Etapa 3.8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 15 x]_{- 3}^{5} - \int_{- 3}^{5} x^{2} d x$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 15 x]_{- 3}^{5} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{5})$

Etapa 3.10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 15 x]_{- 3}^{5} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5})$

Etapa 3.10.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $5$ e em $- 3$ .

$2 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 15 x]_{- 3}^{5} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5})$

Etapa 3.10.2.2

Avalie $15 x$ em $5$ e em $- 3$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5})$

Etapa 3.10.2.3

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $5$ e em $- 3$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.2

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{9}{2}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \frac{25 - 9}{2} + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.4

Subtraia $9$ de $25$ .

$2 (\frac{16}{2}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.5

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.5.1

Fatore $2$ de $16$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{2} + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.5.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.5.2.3

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{8}{1}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.5.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$2 \cdot 8 + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.6

Multiplique $2$ por $8$ .

$16 + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.7

Multiplique $15$ por $5$ .

$16 + 75 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.8

Multiplique $- 15$ por $- 3$ .

$16 + 75 + 45 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.9

Some $75$ e $45$ .

$16 + 120 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.10

Some $16$ e $120$ .

$136 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.11

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.12

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{- 27}{3})$

Etapa 3.10.2.4.13

Cancele o fator comum de $- 27$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.13.1

Fatore $3$ de $- 27$ .

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3})$

Etapa 3.10.2.4.13.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.13.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)})$

Etapa 3.10.2.4.13.2.2

Cancele o fator comum.

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1})$

Etapa 3.10.2.4.13.2.3

Reescreva a expressão.

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{- 9}{1})$

Etapa 3.10.2.4.13.2.4

Divida $- 9$ por $1$ .

$136 - (\frac{125}{3} - - 9)$

Etapa 3.10.2.4.14

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$136 - (\frac{125}{3} + 9)$

Etapa 3.10.2.4.15

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$136 - (\frac{125}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 3.10.2.4.16

Combine $9$ e $\frac{3}{3}$ .

$136 - (\frac{125}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3})$

Etapa 3.10.2.4.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$136 - \frac{125 + 9 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.10.2.4.18

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.18.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$136 - \frac{125 + 27}{3}$

Etapa 3.10.2.4.18.2

Some $125$ e $27$ .

$136 - \frac{152}{3}$

Etapa 3.10.2.4.19

Para escrever $136$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$136 \cdot \frac{3}{3} - \frac{152}{3}$

Etapa 3.10.2.4.20

Combine $136$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{136 \cdot 3}{3} - \frac{152}{3}$

Etapa 3.10.2.4.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{136 \cdot 3 - 152}{3}$

Etapa 3.10.2.4.22

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.22.1

Multiplique $136$ por $3$ .

$\frac{408 - 152}{3}$

Etapa 3.10.2.4.22.2

Subtraia $152$ de $408$ .

$\frac{256}{3}$

Etapa 4