Cálculo Exemplos

$lim_{t \to 25} \frac{25 - t}{5 - \sqrt{t}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{t \to 25} 25 - t}{lim_{t \to 25} 5 - \sqrt{t}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $25$ .

$\frac{lim_{t \to 25} 25 - lim_{t \to 25} t}{lim_{t \to 25} 5 - \sqrt{t}}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $25$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $25$ .

$\frac{25 - lim_{t \to 25} t}{lim_{t \to 25} 5 - \sqrt{t}}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.3.1

Avalie o limite de $t$ substituindo $25$ por $t$ .

$\frac{25 - 25}{lim_{t \to 25} 5 - \sqrt{t}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $25$ de $25$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 25} 5 - \sqrt{t}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $25$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 25} 5 - lim_{t \to 25} \sqrt{t}}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $25$ .

$\frac{0}{5 - lim_{t \to 25} \sqrt{t}}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{5 - \sqrt{lim_{t \to 25} t}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $25$ por $t$ .

$\frac{0}{5 - \sqrt{25}}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{0}{5 - \sqrt{5^{2}}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{t \to 25} \frac{25 - t}{5 - \sqrt{t}} = lim_{t \to 25} \frac{\frac{d}{d t} [25 - t]}{\frac{d}{d t} [5 - \sqrt{t}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{t \to 25} \frac{\frac{d}{d t} [25 - t]}{\frac{d}{d t} [5 - \sqrt{t}]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $25 - t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$lim_{t \to 25} \frac{\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t]}{\frac{d}{d t} [5 - \sqrt{t}]}$

Etapa 1.3.3

Como $25$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $25$ em relação a $t$ é $0$ .

$lim_{t \to 25} \frac{0 + \frac{d}{d t} [- t]}{\frac{d}{d t} [5 - \sqrt{t}]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d t} [- t]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 25} \frac{0 - \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [5 - \sqrt{t}]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{t \to 25} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d t} [5 - \sqrt{t}]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{t \to 25} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d t} [5 - \sqrt{t}]}$

Etapa 1.3.5

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{\frac{d}{d t} [5 - \sqrt{t}]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - \sqrt{t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]$ .

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]}$

Etapa 1.3.7

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5$ em relação a $t$ é $0$ .

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 1.3.8.2

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t^{\frac{1}{2}}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 - \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 1.3.8.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})}$

Etapa 1.3.8.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Etapa 1.3.8.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Etapa 1.3.8.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Etapa 1.3.8.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.8.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Etapa 1.3.8.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})}$

Etapa 1.3.8.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})}$

Etapa 1.3.8.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 - \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 1.3.8.10

Mova $t^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.3.9

Subtraia $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{t \to 25} - - (2 t^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.5

Reescreva $t^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{t}$ .

$lim_{t \to 25} - - (2 \sqrt{t})$

Etapa 1.6

Combine os fatores.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{t \to 25} - (- 2 \sqrt{t})$

Etapa 1.6.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$lim_{t \to 25} 2 \sqrt{t}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$2 lim_{t \to 25} \sqrt{t}$

Etapa 2.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$2 \sqrt{lim_{t \to 25} t}$

Etapa 3

Avalie o limite de $t$ substituindo $25$ por $t$ .

$2 \sqrt{25}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$2 \sqrt{5^{2}}$

Etapa 4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$2 \cdot 5$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$10$