Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 7 x + 10}{x - 2}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - 7 x + 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 7 x + lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 7 x + lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie o limite de $10$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 2} x + 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{2} - 7 lim_{x \to 2} x + 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{2} - 7 \cdot 2 + 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.6.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{4 - 7 \cdot 2 + 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.6.1.2

Multiplique $- 7$ por $2$ .

$\frac{4 - 14 + 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.6.2

Subtraia $14$ de $4$ .

$\frac{- 10 + 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.6.3

Some $- 10$ e $10$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 7 x + 10}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x + 10]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x + 10]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 7 x + 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 7 + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.5

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 7 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.6

Some $2 x - 7$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 7}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 7}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 7}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.9

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 7}{1 + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 7}{1}$

Etapa 1.4

Divida $2 x - 7$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} 2 x - 7$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 7$

Etapa 2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 7$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $7$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 7$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$2 \cdot 2 - 1 \cdot 7$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 - 1 \cdot 7$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$4 - 7$

Etapa 4.2

Subtraia $7$ de $4$ .

$- 3$